A P. 5561. feladat (2024. március)

P. 5561. Egy két végén rögzített, hosszegységenként $\displaystyle \mu$ tömegű, $\displaystyle 2L$ hosszúságú megfeszített húron a transzverzális hullámok terjedési sebessége $\displaystyle c$.

$\displaystyle a)$ Adjuk meg a húr sajátrezgéseinek lehetséges frekvenciáit $\displaystyle c/L$ egységekben!

$\displaystyle b)$ A húr közepére egy $\displaystyle M=2\mu L$ tömegű, pontszerű testet rögzítünk, ahogy az az ábrán látható. Írjunk fel egy egyenletet a húr sajátrezgéseinek lehetséges frekvenciáira, és számítsuk is ki a legalacsonyabb 3 frekvencia számszerű értékét $\displaystyle c/L$ egységekben! A gravitáció hatása elhanyagolható.

Útmutatás: Belátható, hogy a hullámalakok a középpontra nézve páros vagy páratlan függvényekkel írhatóak le.

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A húron állóhullámok alakulnak ki, melyek lehetséges $\displaystyle \lambda_n$ hullámhosszait a rögzített végek miatt a következő feltétel határozza meg:

$\displaystyle n\frac{\lambda_n}{2}=2L,$

ebből $\displaystyle \lambda_n=4L/n$, ahol $\displaystyle n=1,2,\ldots$ az alap- és felharmonikusoknak megfelelő pozitív egész számok. A megfelelő frekvenciák a fázissebesség segítségével így írhatók:

$\displaystyle f_n=\frac{c}{\lambda_n}=\frac{n}{4}\frac{c}{L}.$

$\displaystyle b)$ Mivel most is sajátrezgéseket keresünk (azaz olyan mozgásformát, melyben a húr minden pontja és az $\displaystyle M$ tömegű test is azonos frekvenciával, azonos vagy ellentétes fázisban mozog), a húr két felén egyforma hullámhosszú állóhullám fog kialakulni. Két lehetőség van: a húr két fele vagy azonos fázisban rezeg (ez a középpontra nézve páros függvénnyel írható le) vagy ellentétes fázisban (páratlan függvény). Utóbbi esetben a húr közepének (és így az $\displaystyle M$ tömegű testnek) a kitérése nulla, ezért ekkor a hullámhosszt meghatározó egyenlet:

$\displaystyle n\frac{\lambda_n}{2}=L,\qquad\textrm{ahonnan}\qquad f_n=\frac{n}{2}\frac{c}{L}.$

Itt továbbra is $\displaystyle n=1,2,\ldots$ egész számok.

A tengelyesen szimmetrikus (páros) megoldásokhoz tartozó sajátfrekvenciák meghatározása egy kicsit nehezebb, melynek oka, hogy a húr közepén a peremfeltétel nem olyan egyszerű, mint rögzített vagy szabad végpont esetében. Válasszunk olyan koordináta-rendszert, melynek origója a húr bal oldali rögzített végpontjában helyezkedik el ($\displaystyle x=0$), a pontszerű test vízszintes koordinátája pedig $\displaystyle x=L$. A húr bal felén kialakuló transzverzális állóhullám

$\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t)$

alakban írható fel, hiszen az $\displaystyle x=0$ helyen rögzített végpont kitérése minden időpillanatban szükségszerűen nulla. Ebben az egyenletben $\displaystyle k=2\pi/\lambda$ a hullámszám és $\displaystyle \omega=2\pi f$ a körfrekvencia. A húr gyorsulása az $\displaystyle x=L$ helyen megegyezik az $\displaystyle M$ tömegű test $\displaystyle a$ gyorsulásával:

$\displaystyle a=\left.\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\right\vert_{x=L}=-A\omega^2\sin(kL)\cos(\omega t).$

A pontszerű test rezgőmozgásának dinamikai feltételét a húrt feszítő $\displaystyle F$ erő függőleges komponenséből származó eredő erő biztosítja:

$\displaystyle -2F\sin\alpha=Ma,$

ahol $\displaystyle \sin\alpha$ kis kitérések esetén közelíthető a húr érintőjének meredekségével az $\displaystyle x=L$ helyen:

$\displaystyle \sin \alpha\approx\tg \alpha =\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right\vert_{x=L}=Ak\cos(kL)\cos(\omega t).$

Az utóbbi három összefüggés felhasználásával a következőt kapjuk:

$\displaystyle 2FAk\cos(kL)=MA\omega^2\sin(kL).$

Használjuk fel a húrt feszítő erő és a fázissebesség között fennálló $\displaystyle c=\sqrt{F/\mu}$ összefüggést, valamint a feladatban megadott $\displaystyle M=2\mu L$ tömegértéket! Egyszerűsítés és rendezés után kapjuk a

$\displaystyle c^2k=L\omega^2\tg(kL)$

egyenletet, ami az $\displaystyle \omega=ck$ formula segítségével elegáns alakba írható:

$\displaystyle kL\tg(kL)=1.$

Ennek a transzcendens egyenletnek a gyökei határozzák meg a lehetséges $\displaystyle k$ hullámszámokat és az annak megfelelő sajátfrekvenciákat. A gyökök numerikusan (pl. zsebszámológéppel) vagy számítógéppel kereshetők meg, az első három pozitív megoldás:

$\displaystyle kL=0{,}860\quad 3{,}426\quad 6{,}437\quad\ldots$

A megfelelő frekvenciák a hullámszám lehetséges értékeinek ismeretében így számolhatók:

$\displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{ck}{2\pi}.$

A tengelyesen szimmetrikus hullámformákhoz tartozó sajátfrekvenciák tehát:

$\displaystyle f=0{,}136\frac{c}{L},\quad 0{,}545 \frac{c}{L},\quad 1{,}024\frac{c}{L}\,\quad\ldots$

A feladat a három legalacsonyabb frekvenciát kérdezte, ezek közül kettő a páros megoldásokhoz, egy pedig a páratlanhoz tartozik:

$\displaystyle f=0{,}136\frac{c}{L},\quad 0{,}500\frac{c}{L},\quad 0{,}545\frac{c}{L}.$

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai