Problem P. 5563. (April 2024)

P. 5563. Small bodies of masses \(\displaystyle M\) and \(\displaystyle m\) are connected with a thread of length \(\displaystyle \ell\). We attach another thread to the body of mass \(\displaystyle M\) and move the other, upper end of this thread horizontally such that this upper end executes a small amplitude simple harmonic motion of period \(\displaystyle T\). (See figure.) For what length \(\displaystyle \ell\) can the oscillating thread remain vertical all the time?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle m\) tömegű testekből álló rendszerre ható külső erőknek (a függőleges fonál által kifejtett erőnek és a nehézségi erőknek) nincs vízszintes összetevője, emiatt a rendszer tömegközéppontja, amely az alsó testtől \(\displaystyle \ell'=\frac{M}{M+m}\ell\) távolságra van, vízszintes irányba nem mozdul el. (A tömegközéppont függőleges elmozdulása ugyancsak nullának tekinthető, hiszen a lengés amplitúdója kicsi, a függőleges elmozdulás pedig másodrendűen kicsi.) A tömegközéppontnál a fonalat akár rögzíthetjük is, hiszen úgysem mozdul el. Így egy \(\displaystyle \ell'\) hosszúságú matematikai ingát kapunk, amelynek lengésideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\ell'}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell M}{(M+m)g}}.\)

Ezek szerint

\(\displaystyle \ell=g\left(1+\frac{m}{M}\right)\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.\)

Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:	Csapó András, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Hegedüs Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2024