Problem P. 5564. (April 2024)

P. 5564. A ping pong ball rests on a horizontal ping pong racket. The racket is moved in the horizontal direction so that it undergoes simple harmonic motion. The initial velocity is zero, the amplitude is \(\displaystyle A\) and the angular frequency is \(\displaystyle \omega\). Give the displacement of the ball's centre as a function of time. What is the length of the trail left by the ball on the racket if the ball's surface was covered with graphite? (Assume that the ball does not leave the surface of the racquet and does not slide on it.)

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a labda tömegét \(\displaystyle m\), sugarát \(\displaystyle R\), ekkor a tehetetlenségi nyomatéka a középpontra vonatkoztatva \(\displaystyle 2mR^2/3\). A labda tömegközéppontját az (időfüggő) \(\displaystyle S\) tapadási súrlódási erő gyorsítja:

\(\displaystyle S=ma_\textrm{TK}.\)

A tömegközéppontra nézve csak a súrlódási erőnek van forgatónyomatéka, ez hozza létre a labda \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulását:

\(\displaystyle RS=\frac{2}{3}mR^2\beta.\)

A fenti két egyenletből \(\displaystyle S\) kiküszöbölésével kapcsolatot írhatunk fel \(\displaystyle a_\textrm{TK}\) és \(\displaystyle \beta\) között:

\(\displaystyle R\beta=\frac{3}{2}a_\textrm{TK}.\)

Mivel a labda nem csúszik meg, a legalsó pontjának érintőleges gyorsulása minden pillanatban megegyezik az ütő gyorsulásával:

\(\displaystyle a_\textrm{TK}+R\beta=a_\textrm{ütő},\)

amiből a korábbi eredményeinket felhasználva az

\(\displaystyle a_\textrm{TK}=\frac{2}{5}a_\textrm{ütő}\)

összefüggésre jutunk. Mivel mind a labda, mind az ütő nyugalomból indul, hasonló egyenlőség áll fenn a labda középpontjának sebessége és az ütő sebessége között, valamint a pillanatnyi elmozdulások között is:

\(\displaystyle v_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}v_\textrm{ütő}(t),\qquad\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}\Delta x_\textrm{ütő}(t).\)

Vegyük észre, hogy ezek az összefüggések az ütő tetszőleges mozgása esetén fennállnak. Abban a speciális esetben, amikor az ütőt harmonikus rezgőmozgásra késztetjük, a labda tömegközéppontjának elmozdulása az idő függvényében:

\(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}A\left[1-\cos(\omega t)\right],\)

ahol felhasználtuk a \(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(0)=0\), \(\displaystyle v_\textrm{TK}(0)=0\) kezdeti feltételeket.

A labda és az ütő relatív elmozdulása:

\(\displaystyle \Delta x_\textrm{rel}(t)=\Delta x_\textrm{ütő}(t)-\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{3}{2}\Delta x_\textrm{TK}(t),\)

amely a \(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}\)-ra kapott korábbi eredményünk szerint \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 6A/5\) között változik, tehát a keletkező grafitnyom hossza \(\displaystyle 6A/5\).

Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Hegedüs Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Csapó András, Fajszi Karsa, Kiss 131 Adorján Timon.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2024