A P. 5564. feladat (2024. április)

P. 5564. Egy pingponglabda a vízszintes síkú pingpongütőn nyugszik. Az ütőt vízszintes irányban mozgatni kezdjük úgy, hogy az nulla kezdősebességű, $\displaystyle A$ amplitúdójú, $\displaystyle \omega$ körfrekvenciájú rezgőmozgást végezzen. Adjuk meg a labda középpontjának elmozdulását az idő függvényében! Milyen hosszú nyomot hagy az enyhén begrafitozott labda az ütőn? (Tegyük fel, hogy a labda nem hagyja el az ütő felületét és nem csúszik meg rajta.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a labda tömegét $\displaystyle m$, sugarát $\displaystyle R$, ekkor a tehetetlenségi nyomatéka a középpontra vonatkoztatva $\displaystyle 2mR^2/3$. A labda tömegközéppontját az (időfüggő) $\displaystyle S$ tapadási súrlódási erő gyorsítja:

$\displaystyle S=ma_\textrm{TK}.$

A tömegközéppontra nézve csak a súrlódási erőnek van forgatónyomatéka, ez hozza létre a labda $\displaystyle \beta$ szöggyorsulását:

$\displaystyle RS=\frac{2}{3}mR^2\beta.$

A fenti két egyenletből $\displaystyle S$ kiküszöbölésével kapcsolatot írhatunk fel $\displaystyle a_\textrm{TK}$ és $\displaystyle \beta$ között:

$\displaystyle R\beta=\frac{3}{2}a_\textrm{TK}.$

Mivel a labda nem csúszik meg, a legalsó pontjának érintőleges gyorsulása minden pillanatban megegyezik az ütő gyorsulásával:

$\displaystyle a_\textrm{TK}+R\beta=a_\textrm{ütő},$

amiből a korábbi eredményeinket felhasználva az

$\displaystyle a_\textrm{TK}=\frac{2}{5}a_\textrm{ütő}$

összefüggésre jutunk. Mivel mind a labda, mind az ütő nyugalomból indul, hasonló egyenlőség áll fenn a labda középpontjának sebessége és az ütő sebessége között, valamint a pillanatnyi elmozdulások között is:

$\displaystyle v_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}v_\textrm{ütő}(t),\qquad\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}\Delta x_\textrm{ütő}(t).$

Vegyük észre, hogy ezek az összefüggések az ütő tetszőleges mozgása esetén fennállnak. Abban a speciális esetben, amikor az ütőt harmonikus rezgőmozgásra késztetjük, a labda tömegközéppontjának elmozdulása az idő függvényében:

$\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}A\left[1-\cos(\omega t)\right],$

ahol felhasználtuk a $\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(0)=0$, $\displaystyle v_\textrm{TK}(0)=0$ kezdeti feltételeket.

A labda és az ütő relatív elmozdulása:

$\displaystyle \Delta x_\textrm{rel}(t)=\Delta x_\textrm{ütő}(t)-\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{3}{2}\Delta x_\textrm{TK}(t),$

amely a $\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}$-ra kapott korábbi eredményünk szerint $\displaystyle 0$ és $\displaystyle 6A/5$ között változik, tehát a keletkező grafitnyom hossza $\displaystyle 6A/5$.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Hegedüs Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Csapó András, Fajszi Karsa, Kiss 131 Adorján Timon.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai