A P. 5564. feladat (2024. április)

P. 5564. Egy pingponglabda a vízszintes síkú pingpongütőn nyugszik. Az ütőt vízszintes irányban mozgatni kezdjük úgy, hogy az nulla kezdősebességű, \(\displaystyle A\) amplitúdójú, \(\displaystyle \omega\) körfrekvenciájú rezgőmozgást végezzen. Adjuk meg a labda középpontjának elmozdulását az idő függvényében! Milyen hosszú nyomot hagy az enyhén begrafitozott labda az ütőn? (Tegyük fel, hogy a labda nem hagyja el az ütő felületét és nem csúszik meg rajta.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a labda tömegét \(\displaystyle m\), sugarát \(\displaystyle R\), ekkor a tehetetlenségi nyomatéka a középpontra vonatkoztatva \(\displaystyle 2mR^2/3\). A labda tömegközéppontját az (időfüggő) \(\displaystyle S\) tapadási súrlódási erő gyorsítja:

\(\displaystyle S=ma_\textrm{TK}.\)

A tömegközéppontra nézve csak a súrlódási erőnek van forgatónyomatéka, ez hozza létre a labda \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulását:

\(\displaystyle RS=\frac{2}{3}mR^2\beta.\)

A fenti két egyenletből \(\displaystyle S\) kiküszöbölésével kapcsolatot írhatunk fel \(\displaystyle a_\textrm{TK}\) és \(\displaystyle \beta\) között:

\(\displaystyle R\beta=\frac{3}{2}a_\textrm{TK}.\)

Mivel a labda nem csúszik meg, a legalsó pontjának érintőleges gyorsulása minden pillanatban megegyezik az ütő gyorsulásával:

\(\displaystyle a_\textrm{TK}+R\beta=a_\textrm{ütő},\)

amiből a korábbi eredményeinket felhasználva az

\(\displaystyle a_\textrm{TK}=\frac{2}{5}a_\textrm{ütő}\)

összefüggésre jutunk. Mivel mind a labda, mind az ütő nyugalomból indul, hasonló egyenlőség áll fenn a labda középpontjának sebessége és az ütő sebessége között, valamint a pillanatnyi elmozdulások között is:

\(\displaystyle v_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}v_\textrm{ütő}(t),\qquad\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}\Delta x_\textrm{ütő}(t).\)

Vegyük észre, hogy ezek az összefüggések az ütő tetszőleges mozgása esetén fennállnak. Abban a speciális esetben, amikor az ütőt harmonikus rezgőmozgásra késztetjük, a labda tömegközéppontjának elmozdulása az idő függvényében:

\(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{2}{5}A\left[1-\cos(\omega t)\right],\)

ahol felhasználtuk a \(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}(0)=0\), \(\displaystyle v_\textrm{TK}(0)=0\) kezdeti feltételeket.

A labda és az ütő relatív elmozdulása:

\(\displaystyle \Delta x_\textrm{rel}(t)=\Delta x_\textrm{ütő}(t)-\Delta x_\textrm{TK}(t)=\frac{3}{2}\Delta x_\textrm{TK}(t),\)

amely a \(\displaystyle \Delta x_\textrm{TK}\)-ra kapott korábbi eredményünk szerint \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 6A/5\) között változik, tehát a keletkező grafitnyom hossza \(\displaystyle 6A/5\).

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Hegedüs Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Csapó András, Fajszi Karsa, Kiss 131 Adorján Timon.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai