 |
A P. 5565. feladat (2024. április) |
P. 5565. Egy hosszú, hajlékony, súlyos lánc egyik végét rögzítettük. A lelógó lánc akkor szakadna el, ha a saját súlyánál nagyobb terhet akasztanánk rá.
A láncot az ábrán látható helyzetben elengedjük. (A mozgó és a már megfeszült láncdarab is függőleges egyenesnek tekinthető.) Vajon elszakad-e a lánc?
Közli: Gerencsér Jenő, Kaposvár
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Legyen a lánc tömege \(\displaystyle m\), a hossza \(\displaystyle \ell\). Tekintsük azt a helyzetet, amelynél a lánc szabad vége \(\displaystyle x\) távolságra került a rögzített láncvégtől. A lánc mozgásban lévő része ekkor \(\displaystyle \frac{\ell-x}{2}\), az álló része pedig \(\displaystyle \frac{\ell+x}{2}\) hosszúságú. A mozgásban lévő rész szabadon esik, benne nem ébred feszítőerő.
A szabadon eső láncdarab elmozdulása \(\displaystyle t\) idő alatt
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x(t)=\frac{g}{2}t^2,\) |
sebessége pedig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v(t)=gt=\sqrt{2gx(t)}.\) |
A láncot feszítő erő a jobb oldali részben nulla, a bal oldali (már megfeszült) láncdarabban pedig a felfüggesztési ponttól mért távolsággal arányosan csökken. (Ez az álló láncdarabra felírható erőegyensúly egyenletéből következik.) A feszítőerő tehát a bal oldali láncdarab felső végénél a legnagyobb. Jelöljük ezt az erőt (amelyet a mennyezet fejt ki a láncra) \(\displaystyle K\)-val. Amennyiben a mozgás teljes ideje alatt \(\displaystyle K\le 2mg\), akkor a lánc nem fog elszakadni.
Számítsuk ki, hogy mekkora a lánc \(\displaystyle I\) impulzusa \(\displaystyle t\) idővel az elengedés után. Ennek a mennyiségnek időegységenkénti megváltozása, vagyis az \(\displaystyle I'(t)\) derivált a láncra ható külső erők eredőjével (\(\displaystyle K\) és az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő előjeles összegével) egyezik meg.
Mivel a láncdarab tömege a hosszával arányos, a mozgásban lévő rész impulzusa
\(\displaystyle I(t)=\frac{m}{\ell}\cdot \frac{\ell-x(t)}{2}\cdot v(t),\)
vagyis (1) és (2) behelyettesítésével
\(\displaystyle I(t)=\frac{mg}{2}t-\frac{mg^2}{4\ell}t^3.\)
A Newton-féle mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle mg-K(t)=I'(t)=\frac{mg}{2}-\frac{3mg^2}{4\ell}t^2,\)
vagyis
\(\displaystyle K(t)=\frac{mg}{2}+\frac{3mg^2}{4\ell}t^2.\)
A láncot feszítő erő a rögzített végpontjánál indulásakor \(\displaystyle K(0)=\frac{mg}{2}\), az idő múltával \(\displaystyle K(t)\) egyre nagyobb lesz, és a maximális értékét a lánc teljes kiegyenesedésekor, \(\displaystyle T=\sqrt{\frac{2\ell}{g}}\) időpillanatban éri el.
Mivel
\(\displaystyle K(T)=\frac{mg}{2}+\frac{3mg^2}{4\ell}\,\frac{2\ell}{g}=2mg\)
kevesebb, mint a lánc teherbírása, a lánc biztosan nem szakad el.
II. megoldás. Kövessük az I. megoldás jelöléseit! Mialatt az \(\displaystyle x\) távolság egy kicsiny \(\displaystyle \Delta x\) értékkel megnő, a mozgásban lévő láncdarab tömege \(\displaystyle \Delta m=\frac{\Delta x}{2\ell}m\) értékkel változik (csökken). Ekkora tömegű láncdarab sebessége \(\displaystyle v=\sqrt{2gx}\)-ről (rugalmatlan ütközések miatt) nullára csökken, tehát az impulzusváltozása (amit lefelé tekintünk pozitívnak)
\(\displaystyle \Delta I=\Delta m\,v=\frac{mv}{2\ell}\,\Delta x\)
értékkel csökken. Ezt a változást a lánc másik fele által kifejtett
\(\displaystyle K^*=\frac{\Delta I}{\Delta t}\)
nagyságú, felfelé irányuló erő hozza létre. (\(\displaystyle \Delta t=(\Delta x)/v\) a kicsiny láncdarab lefékeződésének ideje.) Így tehát
\(\displaystyle K^*=\frac{mv}{2\ell}\,\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{mv^2}{2\ell}=mg\,\frac{x}{\ell}.\)
Ennek az erőnek a bal oldali láncdarabra ható ellenereje ugyanekkora nagyságú, de lefelé irányuló erő.
A bal oldali láncdarabra ható erők eredője nulla:
\(\displaystyle K-mg\,\frac{\ell+x}{2\ell}-K^*=0,\)
vagyis
\(\displaystyle K(x)=mg\,\frac{\ell+x}{2\ell}+\frac{x}{\ell}\,mg=\frac{mg}{2}\left(1+3\,\frac{x}{\ell}\right).\)
Mivel
\(\displaystyle x\le\ell, \qquad K\le K_\text{max}=2mg,\)
a lánc a mozgása során nem szakad el.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Dobos Anita, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás. 4 pontot kapott: Christ Miranda Anna, Csapó András, Fajszi Karsa, Sütő Áron, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai