A P. 5566. feladat (2024. április)

P. 5566. Vízszintes, nem teljesen sima asztallapon egymást majdnem érintve nyugszik egy $\displaystyle 2r$ és egy $\displaystyle r$ sugarú korong. A síkon egy harmadik, $\displaystyle 3r$ sugarú korong forgásmentesen csúszik úgy, hogy a sebességvektora a három korong közös érintőjével párhuzamos (lásd a felülnézeti ábrát). Mindhárom korong ugyanabból az anyagból készült és a magasságuk is ugyanakkora.

A rugalmasnak tekinthető ütközés után a $\displaystyle 3r$ sugarú korong a súrlódás miatt lelassul és $\displaystyle d=5~\mathrm{cm}$ út megtétele után megáll. Milyen irányban és milyen messzire jutnak el a kisebb korongok az asztalon? A korongok közötti súrlódás elhanyagolható.

Útmutatás: Lásd a P. 5555. feladatot lapunk 2024. márciusi számában és a Komplex számok a fizikában I. cikket a jelen számban.

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Az ütközés nagyon rövid ideje alatt a külső erők (az asztallap és a korongok közötti súrlódás) hatása figyelmen kívül hagyható, vagyis a három korongból álló rendszer zártnak tekinthető. Az ütközések során a teljes mozgásmennyiség (impulzus) vektora állandó marad. Az ütközés rugalmas, így az ütköző korongok összes mozgási energiája sem változik meg. A korongok közötti súrlódás elhanyagolható, emiatt a korongok nem jöhetnek forgásba, vagyis a mozgási energia tisztán a transzlációs mozgásból származik.

A korongok tömege az alapterületükkel, vagyis a sugaruk négyzetével arányos: $\displaystyle 9m$, $\displaystyle 4m$, $\displaystyle m$.

Vizsgáljuk először a $\displaystyle 9m$ és a $\displaystyle 4m$ tömegű korong ütközését. Jelöljük a nagyobb korong ütközés előtti sebességvektorát $\displaystyle \boldsymbol{v}_0$-lal. Az ütközés pillanatában (lásd az 1. ábrát) a korongok $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ középpontjára illeszkedő egyenesnek a nagyobb korong kezdeti mozgásirányával bezárt szöge:

1. ábra

Az ütközés során a két korong között egy nagyon rövid ideig tartó, nagyon nagy $\displaystyle \boldsymbol{F}(t)$ erő lép fel, ami a kezdetben álló kisebb korongot $\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ irányba valamekkora $\displaystyle \boldsymbol{u}$ sebességgel meglöki. Eközben a nagyobb korong sebessége $\displaystyle \boldsymbol{v}$-re változik. A kisebb korong az ütközés előtt állt, így $\displaystyle \boldsymbol{u}$ iránya nyilván megegyezik $\displaystyle \boldsymbol{F}$ irányával.

Az ábrán látható koordináta-rendszerben az impulzusmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle (9m)v_0=(9m)v_x+(4m)u\cos\varphi,$

$\displaystyle 0=(9m)v_y-(4m)u\sin\varphi,$

vagyis

Az energiamegmaradás törvényét alkalmazva felírhatjuk, hogy

(2)-t és (3)-t (4)-be helyettesítve az $\displaystyle u$ sebességnagyságra egy hiányos másodfokú egyenletet kapunk, aminek az egyik (számunkra érdektelen) megoldása $\displaystyle u=0$, a másik gyöke pedig

(2), (3) és (5) felhasználásával a korongok sebességkomponensei:

$\displaystyle u_x=u\cos\varphi=1{,}33\,v_0,$

$\displaystyle u_y=-u\sin\varphi=-0{,}27\,v_0,$

$\displaystyle v_x=0{,}41\,v_0,$

$\displaystyle v_y=0{,}12\,v_0.$

A $\displaystyle 4m$ tömegű korong ezután ütközik az $\displaystyle m$ tömegű álló koronggal, és a sebességük az ütközés után $\displaystyle \boldsymbol{w}$-re és $\displaystyle \boldsymbol{z}$-re változik (2. ábra). Az ütközés ferdeségére jellemző szög a második ütközésnél

$\displaystyle \psi=\arcsin\frac{1}{3}\approx 19{,}47^\circ.$

2. ábra

A legkisebb korong ütközés utáni sebessége az erőlökéssel párhuzamos, vagyis $\displaystyle \overrightarrow{QS}$ irányú, derékszögű komponensei tehát $\displaystyle z_x=z\cos\psi$ és $\displaystyle z_y=-z\sin\psi$.

Erre az ütközésre is felírhatjuk a megmaradási törvényeket:

(6) és (7)-ből kifejezve $\displaystyle w_x$ és $\displaystyle w_y$-t, és ezeket (8)-ba helyettesítve $\displaystyle z$-re hiányos másodfokú egyenletet kapunk, aminek nullától különböző megoldása:

$\displaystyle z=\frac{8}{5}\left(u_x\cos\psi-u_y\sin\psi\right)\approx 2{,}15\,v_0.$

Ennek megfelelően a középső korong sebessége a második ütközés után

$\displaystyle \boldsymbol{w}=(0{,}82;\,-0{,}09)\,v_0,$

a legkisebb korongé

$\displaystyle \boldsymbol{z}=(2{,}03;\,-0{,}72)\,v_0.$

A legnagyobb korong végsebessége, mint azt korábban láttuk

$\displaystyle \boldsymbol{v}=(0{,}41; \, 0{,}12)\,v_0.$

Megjegyzés. Elképzelhető lenne, hogy a középső korong a második ütközés után még egyszer ütközik a legnagyobb méretű koronggal. Ez azonban a jelen esetben nem következik be, hiszen a $\displaystyle \boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}$ relatív sebességvektor és a korongok középpontját összekötő $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(\sqrt{24};-1)$ vektor skalárszorzata pozitív, vagyis ezen két korong középpontjai a második ütközés után távolodnak egymástól.

A legnagyobb korong az eredeti mozgásirányához képes

$\displaystyle \alpha_3=\arctg\frac{v_y}{v_x}=16{,}3^\circ$

szögben ,,balra'' (az óramutató járásával ellentétesen) térül el, a középső korong elmozdulásának iránya

$\displaystyle \alpha_2=\arctg\frac{\vert w_y\vert}{w_x}=6{,}3^\circ,$

míg a legkisebb korong

$\displaystyle \alpha_2=\arctg\frac{\vert z_y\vert}{z_x}=-19{,}5^\circ$

szögben ,,jobbra'' (az óramutató járásával megegyező irányba) térül el.

Az asztallapon csúszó korongok az asztallal való súrlódásuk miatt ugyanolyan ütemben ($\displaystyle a=-\mu g$ ,,gyorsulással'') egyenletesen lassulva mozognak, a megállásukig megtett útjuk a kezdősebességük négyzetével arányos. Mivel

$\displaystyle v^2:w^2:z^2=0{,}18:0{,}68:4{,}62\approx 5\,\mathrm{cm}:19\,\mathrm{cm}:128\,\mathrm{cm},$

ha a legnagyobb korong $\displaystyle d=5\,\mathrm{cm}$ út megtétele után áll meg, akkor a középső kb. $\displaystyle 19\,\mathrm{cm}$-re jut el, a legkisebb pedig majdnem $\displaystyle 1{,}3\,\mathrm{m}$ utat tesz meg a megállásáig.

II. megoldás. A feladat a hivatkozott cikk összefüggései segítségével is megoldható. Az I. megoldás jelöléseit követjük, és a síkbeli vektoroknak komplex számokat feleltetünk meg. Így pl. $\displaystyle \boldsymbol{v}=(v_x,v_y)$ komplex megfelelője a $\displaystyle v=v_x+iv_y,$ és hasonlóan a többi vektornál is. (Figyelem: Az I. megoldásban $\displaystyle v$ a $\displaystyle \boldsymbol{v}$ vektor nagyságát jelölte, itt viszont a teljes $\displaystyle \boldsymbol{v}$ vektornak megfeleltetett komplex számmal egyezik meg.)

Ha egy nagyobb korong $\displaystyle \boldsymbol{v}_0$ sebességgel nekiütközik a nála $\displaystyle k$-szor kisebb tömegű álló korongnak, akkor az idézett cikk képleteinek megfelelően az ütközés után a nagyobb korong sebessége

$\displaystyle v=\frac{kv_0+\mathrm{e}^{2i\alpha}\,\overline{v_0}}{k+1},$

a kisebb korongé pedig

$\displaystyle u=\frac{k}{k+1}(v_0-\mathrm{e}^{2i\alpha}\,\overline{v_0}).$

A fenti képletekben $\displaystyle \alpha$ a korongok közös érintőjének a Gauss-számsík valós tengelyével bezárt szöge.

Az első ütközésnél $\displaystyle k=\frac{9}{4}=2{,}25$, valamint

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}-\varphi=\arccos\frac{1}{5}=78{,}46^\circ=1{,}369\,\mathrm{rad},$

és ennek megfelelően

$\displaystyle \mathrm{e}^{2i\alpha}=-0{,}921+0{,}392\,i.$

(A továbbiakban ezt a komplex számot $\displaystyle q$-val fogjuk jelölni.)

Válasszuk a legnagyobb korong ütközés előtti sebességének $\displaystyle \vert\boldsymbol{v}_0\vert$ nagyságát 1-nek. Ekkor a legnagyobb korong kezdeti sebessége $\displaystyle v_0=1+0\cdot i=1$ valós szám, aminek a komplex konjugáltja is ugyanekkora.

Az ütközés utáni sebességek

$\displaystyle v=\frac{2{,}25+q}{3{,}25}=0{,}409+0{,}121\,i,\qquad\textrm{valamint}\qquad u=\frac{2{,}25}{3{,}25}(1-q)=1{,}329-0{,}271\,i.$

Megjegyzés. A komplex számok közötti algebrai műveleteket akár ,,kézzel'', egy zsebszámológéppel is elvégezhetjük, de a GeoGebra vagy a WolframAlpha program segítségével sokkal gyorsabban és kényelmesebben célhoz érhetünk.

A második ütközésnél a tömegarány $\displaystyle k'=4$, valamint

$\displaystyle \alpha'=\frac{\pi}{2}-\psi=\arccos\frac{1}{3},$

és ennek megfelelően

$\displaystyle q'=\mathrm{e}^{2i\alpha'}=-0{,}778+0{,}629\,i.$

A középső ($\displaystyle 2r$ sugarú) korong ütközés előtti sebességét az első ütközésnél kiszámított $\displaystyle u$ komplex számmal adhatjuk meg.

A második ütközés utáni sebességek:

$\displaystyle w=\frac{4u+q'\overline{u}}{5}=0{,}823-0{,}092\,i,\qquad\textrm{illetve}\qquad z=\frac{4}{5}(u-q\overline{u} )=2{,}027-0{,}717\,i.$

A korongok ütközések utáni sebességnégyzeteinek aránya

$\displaystyle v\overline{v}:w\overline{w}:z\overline{z}=0{,}18:0{,}68:4{,}62,$

és ugyanilyen arányban állnak a megállásukig megtett utak is.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Szabó Donát.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai