Problem P. 5567. (April 2024)
P. 5567. An insulated tank of height \(\displaystyle h\) is placed into vacuum and stands on a horizontal table. The tank has a rim as shown. The tank initially contains a sample of gas at pressure \(\displaystyle p_0\), and is sealed at the top by an insulating light piston, and also at the middle of the tank there is a thin, light piston made from some heat conducting material (see figure). The upper half part of the tank contains a sample of monatomic gas, and in the lower half part there is a sample of diatomic gas. A very heavy load is carefully placed on the upper piston and then released. The movement of the pistons stops after a few oscillations due to the internal friction of the gases. Where are the pistons in their equilibrium position?
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A tartály fala és a felső dugattyú hőszigetelő, a tartály körül vákuum van, így a tartályban lévő gázokból és a ráhelyezett ,,nagyon nehéz'' testből álló rendszer összenergiája állandó.
Az elválasztó dugattyú könnyű és hővezető, így egyensúlyban a két térrészben a gázok nyomása és hőmérséklete is megegyezik. Kezdetben a két térrész térfogata egyforma (tehát az azonos nyomás és hőmérséklet miatt a két térrészben a gázok anyagmennyisége is ugyanakkora), így a végső egyensúlyban is azonos lesz a térfogatuk. Jelöljük az alsó dugattyú keresett magasságát \(\displaystyle x\)-szel, akkor a felső dugattyú magassága \(\displaystyle 2x\) lesz.
Írjuk fel az energiamegmaradást a kezdeti és végső egyensúlyi állapotokra:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}p_0\frac{h}{2}A+\frac{5}{2}p_0\frac{h}{2}A+Mg(h-2x)=\frac{3}{2}pxA+\frac{5}{2}pxA,\) |
ahol \(\displaystyle A\) a henger keresztmetszete, \(\displaystyle M\) a ráhelyezett test tömeg, \(\displaystyle g\) a nehézségi gyorsulás, \(\displaystyle p\) pedig a gázok nyomása a végső egyensúlyi állapotban. Egyensúlyban a test súlyát a dugattyúnak kell megtartania, ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle Mg=pA.\) |
(2)-t (1)-be beírva és rendezve:
\(\displaystyle x=\frac{p+2p_0}{6p}h.\)
A feladat szövege szerint a ráhelyezett test ,,nagyon nehéz'', így
\(\displaystyle p=\frac{Mg}{A}\gg p_0,\)
azaz
\(\displaystyle p+2p_0\approx p\qquad\textrm{és}\qquad x=\frac{h}{6}.\)
A dugattyúk tehát az egyensúlyi helyzetükben a tartály aljától \(\displaystyle h/6\) és \(\displaystyle h/3\) magasságban lesznek.
Statistics:
19 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Debreceni Dániel, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás. 4 points: Csapó András, Csiszár András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Sütő Áron. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2024