Problem P. 5568. (April 2024)
P. 5568. In two circular regions of radius \(\displaystyle R\) at a distance of \(\displaystyle d\) (\(\displaystyle d>2R\)) from each other (two black circles), there is uniform magnetic field of magnetic induction \(\displaystyle B\) which points in the same direction, perpendicular to the plane of the figure. A point particle with charge \(\displaystyle Q\) and mass \(\displaystyle m\) moves periodically at a speed of \(\displaystyle v\) along the orbit shown in the figure (red curve). How long does it take for the particle to cover the red orbit once? What is the minimum value of the magnetic induction so that the particle still moves periodically along an orbit?
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A mágneses térben a töltés a Lorentz-erő hatására \(\displaystyle \omega_\mathrm{c}=v/r_\mathrm{c}\) szögsebességgel \(\displaystyle r_\mathrm{c}\) sugarú körpályán mozog:
\(\displaystyle QB\omega_\mathrm{c}r_\mathrm{c}=m\omega_\mathrm{c}^2r_\mathrm{c},\)
amiből:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{c}=\frac{QB}{m},\quad r_\mathrm{c}=\frac{v}{\omega_\mathrm{c}}=\frac{mv}{QB}.\)
Megjegyzés. A c index a ciklotronra utal lásd: https://hu.wikipedia.org/wiki/Ciklotron
A periódusidő két részből áll: egy teljes kör (két félkör) befutása a körpályán és a két egyenes szakasz megtétele:
$$\begin{align*} T &=t_1+t_2,\quad\textrm{ahol}\\ t_1 &=\frac{2\pi}{\omega_\mathrm{c}},\quad t_2=\frac{2\left(d-2\sqrt{R^2-r_\mathrm{c}^2}\right)}{v},\quad\textrm{amiből}\\ T &=\frac{2\pi m}{QB}+\frac{2d}{v}-4\sqrt{\left(\frac{R}{v}\right)^2-\left(\frac{m}{QB}\right)^2}. \end{align*}$$A geometria miatt \(\displaystyle r_\mathrm{c}\leq R\), vagyis a minimális mágneses indukció értéke:
\(\displaystyle B_\mathrm{min}=\frac{mv}{QR},\)
periodikus pálya csak \(\displaystyle B\geq B_\mathrm{min}\) esetén alakul ki.
Statistics:
32 students sent a solution. 4 points: Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bogdán Benedek, Csapó András, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Erős Fanni, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Gyenes Károly, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Rózsa Laura Enikő , Szabó Donát, Tárnok Ede . 3 points: Dobos Anita, Kiss 131 Adorján Timon. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2024