A P. 5572. feladat (2024. május)

P. 5572. A 60 kg tömegű Aladár egy (a vízszinttől számítva) 50 m magas hídról ,,halálugrásra'' (bungee jumping ugrásra) vállalkozik. A kötél hosszát úgy állították be, hogy Aladár az ugrás során éppen érintse a vízfelszínt. Így az igen könnyű, de kellőképpen rugalmas kötelének direkciós állandója 72 N/m. A 80 kg-os Bendegúz is vállalkozik egy hasonló ugrásra. Az ő kötele is ugyanolyan minőségű, mint Aladáré, de rövidebb annál.

$\displaystyle a)$ Milyen hosszú Aladár, illetve Bendegúz kötele? Mekkora Bendegúz kötelének direkciós állandója?

$\displaystyle b)$ Mekkora Aladár, illetve Bendegúz maximális gyorsulása?

$\displaystyle c)$ Melyikük éri el hamarabb a vízfelszínt, ha egyszerre ugranak le a hídról?

Feltételezhetjük, hogy a kötelek megnyúlása egyenesen arányos a nyújtóerővel. Az ugrók testmagasságát és a közegellenállást ne vegyük számításba.

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes, Szlovákia

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük Aladár tömegét $\displaystyle m_\mathrm{A}$-val, rugalmas kötelének hosszát $\displaystyle \ell_\mathrm{A}$-val, és ennek a kötélnek megfelelő rugó direkciós állandóját (rugóállandóját) $\displaystyle D_\mathrm{A}$-val. A Bendegúzra vonatkozó megfelelő mennyiségek jele legyen $\displaystyle m_\mathrm{B}$, $\displaystyle \ell_\mathrm{B}$ és $\displaystyle D_\mathrm{B}$. Az ugrás helyének a vízfelszíntől mért magasságát jelöljük $\displaystyle h$-val.

Az ismert adatok: $\displaystyle m_\mathrm{A}=60\,\mathrm{kg}$,  $\displaystyle m_\mathrm{B}=80\,\mathrm{kg}$,  $\displaystyle D_\mathrm{A}=72\,\mathrm{N/m}$,  $\displaystyle h=50\,\mathrm{m}$ és $\displaystyle g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

A keresett mennyiségek: $\displaystyle \ell_\mathrm{A}$, $\displaystyle \ell_\mathrm{B}$, $\displaystyle D_\mathrm{B}$, illetve a két ugró maximális gyorsulása: $\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{A}$ és $\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{B}$.

$\displaystyle a)$ Aladár kötelének hosszát legkönnyebben az energiamegmaradás tételének alkalmazásával kaphatjuk meg. Az elugráskor és a vízfelszínhez érkezéskor Aladár sebessége nulla, így csak a gravitációs helyzeti energia és a rugalmas energia változását kell figyelembe vennünk:

$\displaystyle -m_\mathrm{A}gh+\frac{1}{2}D_\mathrm{A}\left(h-\ell_\mathrm{A}\right)^2=0,$

ahonnan

$\displaystyle \ell_\mathrm{A}=h-\sqrt{\frac{2m_\mathrm{A}gh}{D_\mathrm{A}}}=21{,}41\,\mathrm{m}\approx 21\,\mathrm{m}.$

Hasonló megfontolással kapjuk meg Bendegúz rugalmas kötelének nyújtatlan hosszát. Az energiamegmaradás szerint

$\displaystyle -m_\mathrm{B}gh+\frac{1}{2}D_\mathrm{B}\left(h-\ell_\mathrm{B}\right)^2=0.$

Vegyük még figyelembe, hogy egy rugalmas kötél ,,rugóállandója'' függ a nyújtatlan kötél hosszától, annak reciprokával arányos. (Ez a Hooke-törvényből olvasható ki.) Ennek megfelelően

$\displaystyle D_\mathrm{B}=D_\mathrm{A}\frac{\ell_\mathrm{A}}{\ell_\mathrm{B}},$

tehát az energiatétel egyenlete:

$\displaystyle m_\mathrm{B}gh=\frac{1}{2}D_\mathrm{A}\frac{\ell_\mathrm{A}}{\ell_\mathrm{B}}\left(h-\ell_\mathrm{B}\right)^2.$

Ez $\displaystyle \ell_\mathrm{B}$-re nézve másodfokú egyenlet, amelynek $\displaystyle h$-nál kisebb megoldása:

$\displaystyle \ell_\mathrm{B}=18{,}95\,\mathrm{m}\approx 19\,\mathrm{m}.$

(Ennél pontosabb eredmény megadása az ugrók testmagasságának figyelembevétele nélkül értelmetlen lenne.)

Bendegúz kötelének direkciós állandója $\displaystyle \ell_\mathrm{B}$ ismeretében már könnyen számolható:

$\displaystyle D_\mathrm{B}\approx 81\,\mathrm{N/m}.$

$\displaystyle b)$ A legnagyobb (függőlegesen felfelé irányuló) gyorsulás a vízfelszínhez érés pillanatában következik be, hiszen ekkor a legnagyobb a kötelet feszítő erő. Newton törvénye szerint

$\displaystyle m_\mathrm{A}a^\mathrm{max}_\mathrm{A}=D_\mathrm{A}\left(h-\ell_\mathrm{A}\right)-m_\mathrm{A}g,$

ahonnan

$\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{A}=\left(\sqrt{\frac{2D_\mathrm{A}h}{m_\mathrm{A}g}}-1\right)g\approx 2{,}5\,g.$

Hasonló számolással adódik, hogy

$\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{B}=\left(\sqrt{\frac{2D_\mathrm{B}h}{m_\mathrm{B}g}}-1\right)g\approx 2{,}2\,g.$

A gyorsulás következtében az ugrást végző személy úgy érzi, mintha a nehézségi gyorsulás a megszokott $\displaystyle g$-ről $\displaystyle g'=g+a^\mathrm{max}$ értékre növekedett volna. Aladár esetében $\displaystyle g'$ legnagyobb értéke $\displaystyle 3{,}5\,g$, Bendegúznál pedig $\displaystyle 3{,}2\,g$. Érdekes, hogy a nagyobb tömegű, rövidebb kötélre kötött Bendegúz veséinek (és más belső szerveinek) ,,terhelése'' a kisebb, mint a kisebb tömegű, de hosszabb kötéllel rendelkező Aladár terhelése.

$\displaystyle c)$ Az esési idők összehasonlítása első ránézésre nagyon nehéz kérdésnek tűnik, de nem az! Nincs szükség a két idő nagyságának pontos kiszámítására, hiszen csak az a kérdés, hogy melyik időtartam a rövidebb.

Számítsuk ki a ,,halálugrást'' végző személy sebességének négyzetét a megtett $\displaystyle x$ út függvényében. Mindaddig, amíg a kötél laza, a mozgás szabadesés, tehát az $\displaystyle x\le\ell$ szakaszon

$\displaystyle v^2(x)=2g\cdot x.$

A kötél fokozatos megfeszülése során (vagyis ha $\displaystyle \ell<x\le h$) az energiamegmaradás egyenlete szerint

$\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgx-\frac{1}{2}D(x-\ell)^2,$

ahonnan

$\displaystyle v^2(x)=2gx-\frac{D}{m}(x-\ell)^2.$

A fenti képletekben $\displaystyle m$, $\displaystyle D$ és $\displaystyle \ell$ helyébe Aladárnál és Bendegúznál a nekik megfelelő értékeket kell behelyettesítenünk. A paramétereket úgy állították be, hogy mindkét ugrónál $\displaystyle v(x=h)=0$ teljesüljön.

Ábrázoljuk a $\displaystyle v^2(x)$ függvény grafikonját. A képletekből leolvashatjuk, hogy a grafikon egy (az origóból induló, adott meredekségű) egyenesből és egy lefelé szélesedő parabolából tevődik össze. Mindkét görbe második zérushelye az $\displaystyle x$ tengely $\displaystyle x=h$ pontjánál van. Az egyenes és a parabola folytonosan és törésmentesen csatlakozik egymáshoz az $\displaystyle x=\ell$ koordinátájú pontban.

Az ábráról leolvashatjuk, hogy Bendegúz – kékkel jelölt – $\displaystyle v^2$-e sehol nem emelkedik Aladár piros görbéje fölé, és egy szakaszon pedig határozottan az alatt halad. Ugyanez érvényes a $\displaystyle v(x)$ sebesség-út függvény grafikonjára is.

Ezek szerint a pálya bármely kicsiny $\displaystyle \Delta x$ hosszúságú szakaszát Aladár nagyobb, vagy ugyanakkora sebességgel teszi meg, mint Bendegúz, emiatt biztosan hamarabb éri el a vízfelszínt, mint a nagyobb tömegű társa.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Gerendás Roland, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Rózsa Laura Enikő , Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Hanga Katalin, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai