A P. 5572. feladat (2024. május)

P. 5572. A 60 kg tömegű Aladár egy (a vízszinttől számítva) 50 m magas hídról ,,halálugrásra'' (bungee jumping ugrásra) vállalkozik. A kötél hosszát úgy állították be, hogy Aladár az ugrás során éppen érintse a vízfelszínt. Így az igen könnyű, de kellőképpen rugalmas kötelének direkciós állandója 72 N/m. A 80 kg-os Bendegúz is vállalkozik egy hasonló ugrásra. Az ő kötele is ugyanolyan minőségű, mint Aladáré, de rövidebb annál.

\(\displaystyle a)\) Milyen hosszú Aladár, illetve Bendegúz kötele? Mekkora Bendegúz kötelének direkciós állandója?

\(\displaystyle b)\) Mekkora Aladár, illetve Bendegúz maximális gyorsulása?

\(\displaystyle c)\) Melyikük éri el hamarabb a vízfelszínt, ha egyszerre ugranak le a hídról?

Feltételezhetjük, hogy a kötelek megnyúlása egyenesen arányos a nyújtóerővel. Az ugrók testmagasságát és a közegellenállást ne vegyük számításba.

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes, Szlovákia

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük Aladár tömegét \(\displaystyle m_\mathrm{A}\)-val, rugalmas kötelének hosszát \(\displaystyle \ell_\mathrm{A}\)-val, és ennek a kötélnek megfelelő rugó direkciós állandóját (rugóállandóját) \(\displaystyle D_\mathrm{A}\)-val. A Bendegúzra vonatkozó megfelelő mennyiségek jele legyen \(\displaystyle m_\mathrm{B}\), \(\displaystyle \ell_\mathrm{B}\) és \(\displaystyle D_\mathrm{B}\). Az ugrás helyének a vízfelszíntől mért magasságát jelöljük \(\displaystyle h\)-val.

Az ismert adatok: \(\displaystyle m_\mathrm{A}=60\,\mathrm{kg}\),  \(\displaystyle m_\mathrm{B}=80\,\mathrm{kg}\),  \(\displaystyle D_\mathrm{A}=72\,\mathrm{N/m}\),  \(\displaystyle h=50\,\mathrm{m}\) és \(\displaystyle g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).

A keresett mennyiségek: \(\displaystyle \ell_\mathrm{A}\), \(\displaystyle \ell_\mathrm{B}\), \(\displaystyle D_\mathrm{B}\), illetve a két ugró maximális gyorsulása: \(\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{A}\) és \(\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{B}\).

\(\displaystyle a)\) Aladár kötelének hosszát legkönnyebben az energiamegmaradás tételének alkalmazásával kaphatjuk meg. Az elugráskor és a vízfelszínhez érkezéskor Aladár sebessége nulla, így csak a gravitációs helyzeti energia és a rugalmas energia változását kell figyelembe vennünk:

\(\displaystyle -m_\mathrm{A}gh+\frac{1}{2}D_\mathrm{A}\left(h-\ell_\mathrm{A}\right)^2=0,\)

ahonnan

\(\displaystyle \ell_\mathrm{A}=h-\sqrt{\frac{2m_\mathrm{A}gh}{D_\mathrm{A}}}=21{,}41\,\mathrm{m}\approx 21\,\mathrm{m}.\)

Hasonló megfontolással kapjuk meg Bendegúz rugalmas kötelének nyújtatlan hosszát. Az energiamegmaradás szerint

\(\displaystyle -m_\mathrm{B}gh+\frac{1}{2}D_\mathrm{B}\left(h-\ell_\mathrm{B}\right)^2=0.\)

Vegyük még figyelembe, hogy egy rugalmas kötél ,,rugóállandója'' függ a nyújtatlan kötél hosszától, annak reciprokával arányos. (Ez a Hooke-törvényből olvasható ki.) Ennek megfelelően

\(\displaystyle D_\mathrm{B}=D_\mathrm{A}\frac{\ell_\mathrm{A}}{\ell_\mathrm{B}},\)

tehát az energiatétel egyenlete:

\(\displaystyle m_\mathrm{B}gh=\frac{1}{2}D_\mathrm{A}\frac{\ell_\mathrm{A}}{\ell_\mathrm{B}}\left(h-\ell_\mathrm{B}\right)^2.\)

Ez \(\displaystyle \ell_\mathrm{B}\)-re nézve másodfokú egyenlet, amelynek \(\displaystyle h\)-nál kisebb megoldása:

\(\displaystyle \ell_\mathrm{B}=18{,}95\,\mathrm{m}\approx 19\,\mathrm{m}.\)

(Ennél pontosabb eredmény megadása az ugrók testmagasságának figyelembevétele nélkül értelmetlen lenne.)

Bendegúz kötelének direkciós állandója \(\displaystyle \ell_\mathrm{B}\) ismeretében már könnyen számolható:

\(\displaystyle D_\mathrm{B}\approx 81\,\mathrm{N/m}.\)

\(\displaystyle b)\) A legnagyobb (függőlegesen felfelé irányuló) gyorsulás a vízfelszínhez érés pillanatában következik be, hiszen ekkor a legnagyobb a kötelet feszítő erő. Newton törvénye szerint

\(\displaystyle m_\mathrm{A}a^\mathrm{max}_\mathrm{A}=D_\mathrm{A}\left(h-\ell_\mathrm{A}\right)-m_\mathrm{A}g,\)

ahonnan

\(\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{A}=\left(\sqrt{\frac{2D_\mathrm{A}h}{m_\mathrm{A}g}}-1\right)g\approx 2{,}5\,g.\)

Hasonló számolással adódik, hogy

\(\displaystyle a^\mathrm{max}_\mathrm{B}=\left(\sqrt{\frac{2D_\mathrm{B}h}{m_\mathrm{B}g}}-1\right)g\approx 2{,}2\,g.\)

A gyorsulás következtében az ugrást végző személy úgy érzi, mintha a nehézségi gyorsulás a megszokott \(\displaystyle g\)-ről \(\displaystyle g'=g+a^\mathrm{max}\) értékre növekedett volna. Aladár esetében \(\displaystyle g'\) legnagyobb értéke \(\displaystyle 3{,}5\,g\), Bendegúznál pedig \(\displaystyle 3{,}2\,g\). Érdekes, hogy a nagyobb tömegű, rövidebb kötélre kötött Bendegúz veséinek (és más belső szerveinek) ,,terhelése'' a kisebb, mint a kisebb tömegű, de hosszabb kötéllel rendelkező Aladár terhelése.

\(\displaystyle c)\) Az esési idők összehasonlítása első ránézésre nagyon nehéz kérdésnek tűnik, de nem az! Nincs szükség a két idő nagyságának pontos kiszámítására, hiszen csak az a kérdés, hogy melyik időtartam a rövidebb.

Számítsuk ki a ,,halálugrást'' végző személy sebességének négyzetét a megtett \(\displaystyle x\) út függvényében. Mindaddig, amíg a kötél laza, a mozgás szabadesés, tehát az \(\displaystyle x\le\ell\) szakaszon

\(\displaystyle v^2(x)=2g\cdot x.\)

A kötél fokozatos megfeszülése során (vagyis ha \(\displaystyle \ell<x\le h\)) az energiamegmaradás egyenlete szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgx-\frac{1}{2}D(x-\ell)^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle v^2(x)=2gx-\frac{D}{m}(x-\ell)^2.\)

A fenti képletekben \(\displaystyle m\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle \ell\) helyébe Aladárnál és Bendegúznál a nekik megfelelő értékeket kell behelyettesítenünk. A paramétereket úgy állították be, hogy mindkét ugrónál \(\displaystyle v(x=h)=0\) teljesüljön.

Ábrázoljuk a \(\displaystyle v^2(x)\) függvény grafikonját. A képletekből leolvashatjuk, hogy a grafikon egy (az origóból induló, adott meredekségű) egyenesből és egy lefelé szélesedő parabolából tevődik össze. Mindkét görbe második zérushelye az \(\displaystyle x\) tengely \(\displaystyle x=h\) pontjánál van. Az egyenes és a parabola folytonosan és törésmentesen csatlakozik egymáshoz az \(\displaystyle x=\ell\) koordinátájú pontban.

Az ábráról leolvashatjuk, hogy Bendegúz – kékkel jelölt – \(\displaystyle v^2\)-e sehol nem emelkedik Aladár piros görbéje fölé, és egy szakaszon pedig határozottan az alatt halad. Ugyanez érvényes a \(\displaystyle v(x)\) sebesség-út függvény grafikonjára is.

Ezek szerint a pálya bármely kicsiny \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú szakaszát Aladár nagyobb, vagy ugyanakkora sebességgel teszi meg, mint Bendegúz, emiatt biztosan hamarabb éri el a vízfelszínt, mint a nagyobb tömegű társa.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Gerendás Roland, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Rózsa Laura Enikő , Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Hanga Katalin, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai