Problem P. 5574. (May 2024)

P. 5574. Pistons encloses samples of nitrogen gas in a vertical, insulated cylinder sealed at its bottom. Initially the samples have the same volume and the same temperature of \(\displaystyle T_1=300~\mathrm{K}\). The upper piston can move frictionlessly, has a mass of \(\displaystyle {m=40}~\mathrm{kg}\), and is thermally insulated, the lower one is made of good thermal conducting material and is fixed. The external air pressure is \(\displaystyle 10^5~\mathrm{Pa}\), the pressure of the gas at the bottom part is \(\displaystyle 1.2\cdot 10^5~\mathrm{Pa}\). The area of the cross section of the cylinder is \(\displaystyle {A=1}~\mathrm{dm^2}\), \(\displaystyle h=0.5~\mathrm{m}\).

\(\displaystyle a)\) What are the masses of the samples of nitrogen in the bottom and in the top parts of the cylinder?

An electric heating element gives \(\displaystyle Q=1580~\mathrm{J}\) thermal energy to the system.

\(\displaystyle b)\) By how much does the internal energy of the gases in the top and bottom parts change?

\(\displaystyle c)\) How much does the volume of the upper gas change?

(4 pont)

Deadline expired on June 17, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A felső részben lévő gáz térfogata \(\displaystyle V_1=5\,\mathrm{dm^3}\), nyomása \(\displaystyle p_1=10^5\,\mathrm{Pa}+\frac{40\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\mathrm{m/s^2}}{1\,\mathrm{dm^2}}=139\,\mathrm{kPa}\). Behelyettesítve az ideális gáz állapotegyenletébe, a felső részben lévő gáz anyagmennyiségére

\(\displaystyle n_1=\frac{p_1V_1}{RT}=\frac{1{,}39\cdot10^5\,\mathrm{Pa}\cdot 0{,}005\,\mathrm{m^3}}{8{,}314\,\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 300\,\mathrm{K}}=0{,}279\,\mathrm{mol}\)

adódik. A nitrogéngáz moláris tömege \(\displaystyle 28\,\mathrm{\tfrac{g}{mol}}\), így a felső térrészben \(\displaystyle 7{,}82\,\mathrm{g}\) gáz található. Az alsó térrészben a nitrogén anyagmennyisége

\(\displaystyle n_2=\frac{1{,}2\cdot10^5\,\mathrm{Pa}\cdot0{,}005\,\mathrm{m^3}}{8{,}314\,\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 300\,\mathrm{K}}=0{,}241\,\mathrm{mol},\)

melynek tömege \(\displaystyle 6{,}74\,\mathrm{g}\).

\(\displaystyle b)\) A melegítés hatására mindkét gáz hőmérséklete \(\displaystyle \Delta T\) értékkel növekszik meg. Az alsó gáz állandó térfogaton történő melegítéséhez \(\displaystyle \tfrac{f}{2}n_2R\Delta T\) hőmennyiség szükséges. A felső gáz izobár állapotváltozása során a felvett hő \(\displaystyle \tfrac{f+2}{2}n_1R\Delta T\). A nitrogéngáz kétatomos molekulákból áll, így \(\displaystyle f=5\). A fűtőszállal közölt összes hő ismeretében felírható, hogy

\(\displaystyle \frac{f}{2}n_2R\Delta T+\frac{f+2}{2}n_1R\Delta T=1580\,\mathrm{J}.\)

A hőmérséklet-növekedés értékére \(\displaystyle \Delta T=120{,}4\,\mathrm{K}\) adódik. A belső energia növekedés a felső illetve alsó gázra:

\(\displaystyle c)\) Gay-Lussac I. törvénye értelmében a végállapotban a felső gáz térfogata

\(\displaystyle V_1'=V_1\frac{T_1+\Delta T}{T_1}=7{,}01\,\mathrm{dm^3}.\)

A felső gáz térfogata \(\displaystyle 2{,}01\,\mathrm{dm^3}\)-rel növekedett meg a melegítés hatására.

Statistics:

35 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Csiszár András, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Éliás Kristóf , Erős Fanni, Gerendás Roland, Hornok Máté, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Sütő Áron, Szabó Donát, Vágó Botond.
3 points:	Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Kiss 131 Adorján Timon, Rózsa Laura Enikő , Tóth Hanga Katalin, Zólomy Csanád Zsolt.
2 points:	3 students.
1 point:	8 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2024