A P. 5575. feladat (2024. május)

P. 5575. Nagy méretű, földelt fémlap felett $\displaystyle h$ magasságban egy kicsiny elektromos dipólust helyezünk el. Mindezt úgy tesszük, hogy annak $\displaystyle \boldsymbol{p}$ dipólmomentuma az ábrán látott módon felfelé mutasson.

Határozzuk meg a fémlapon azon pontok helyét, ahol a felületi töltéssűrűség zérus!

Közli: Németh Róbert, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

I. megoldás. Az elektromos dipólus modellezéséhez induljunk ki egy $\displaystyle q$ és egy $\displaystyle -q$ töltésből képzett párból, amelyek egymástól $\displaystyle d$ távolságra helyezkednek el. Ha elvégezzük a $\displaystyle d\to 0$, $\displaystyle q\to\infty$ határértékeket a $\displaystyle p=qd$ konstans feltétel mellett, akkor megkapjuk az ideális dipólust.

Vizsgáljuk meg, hogy mi történik a tükörtöltésekkel a határérték elvégzése közben! A $\displaystyle q$ illetve $\displaystyle -q$ töltésekhez rendre $\displaystyle -q$ illetve $\displaystyle q$ tükörtöltések tartoznak, amelyek egymástól vett távolsága $\displaystyle d$. Mivel a töltések előjele felcserélődik, az említett limeszben könnyen látható, hogy a tükördipólus a valódival párhuzamos $\displaystyle \boldsymbol{p}$ dipólmomentummal jellemezhető.

Az elektromos térerősség értéke a koordináta-rendszer $\displaystyle (x,y)$ síkjába helyezett fémlap felületén, az elrendezés szimmetriatengelyétől $\displaystyle r$ távolságra a valódi és tükördipólusok járulékainak összegeként adódik:

$\displaystyle \boldsymbol{E}(r)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{3ph^2-p(h^2+r^2)}{(h^2+r^2)^{5/2}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},$

ez a várakozásainknak megfelelően merőleges a fémlapra. A felületi töltéssűrűség a $\displaystyle \sigma=\varepsilon_0 E$ összefüggésből kapható:

$\displaystyle \sigma(r)=\frac{p}{2\pi}\frac{2h^2-r^2}{(h^2+r^2)^{5/2}}.$

Jól látható, hogy a fenti kifejezés számlálója zérussá válik, amennyiben a $\displaystyle r$ sugár az alábbi $\displaystyle R$ értéket veszi fel:

$\displaystyle R=\sqrt{2}\,h.$

A töltéssűrűség tehát egy ekkora sugarú körvonal mentén zérus.

II. megoldás. A fémlap közvetlen közelében az elektromos térerősség merőleges a fémlapra, nagysága helyről helyre változó $\displaystyle E_\perp$. A fémlap felületi töltéssűrűsége (egységnyi felületen található töltés nagysága) a Gauss-féle fluxustörvény szerint arányos az $\displaystyle E_\perp$ komponenssel, tehát ott válik nullává, ahol $\displaystyle E_\perp$ eltűnik.

A fémlapnak a dipólust tartalmazó oldalán az elektromos térerősség úgy számítható ki, mintha a fémlap ott se lenne. Helyette a ténylegesen ott lévő (az alábbi ábrákon pirosan jelölt) dipólus mellett egy, annak a fémlapra vett tükörkép-pontjában található másik, ugyancsak $\displaystyle \boldsymbol p$ dipólmomentummal rendelkező (kék színnel jelölt) ,,tükördipólus'' elektromos terét is számításba kell vegyük. (Ez a tükrözési módszer az elektrosztatikában.)

Megjegyzés. Érdekes, hogy a tükördipól iránya nem tükröződik, hanem $\displaystyle \boldsymbol{p}$-vel megegyező marad. Ennek az a szemléletes magyarázata, hogy a tükrözés során a dipólust alkotó két, egymáshoz közeli töltést összekötő vektor iránya is és a töltések előjele is megváltozik, a szorzatuk tehát változatlan marad.

Egyetlen elektromos dipólus térerőssége a dipólus helyétől $\displaystyle \boldsymbol{r}$ vektorral megadott pontban

$\displaystyle \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}r^2}{r^5}.$

(Ez a formula tankönyvekben és az interneten is megtalálható.)

Esetünkben a teljes elektromos térerősség a valódi és a tükördipólus terének összege:

$\displaystyle \boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}r^2}{r^5} +\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})\boldsymbol{r'}-\boldsymbol{p}r'^2}{r'^5}\right),$

ahol $\displaystyle \boldsymbol{r'}$ a tükördipólustól a vizsgált pontba mutató vektor (1. ábra). Az ábráról leolvasható, hogy $\displaystyle \vert\boldsymbol{r'}\vert\equiv r'=r.$

1. ábra

A fenti térerősségnek a normális irányú (a fémlapra merőleges) komponense akkor nulla, ha $\displaystyle \boldsymbol{E}$-t egy normális irányú vektorral, például $\displaystyle \boldsymbol{p}$-vel skalárisan szorozva nullát kapunk: $\displaystyle \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{p}=0$. Ez akkor teljesül, ha

$\displaystyle 3(\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})^2+3(\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})^2-2p^2r^2=0.$

Tekintettel arra, hogy $\displaystyle \boldsymbol{p}$ merőleges az $\displaystyle \boldsymbol{r}+\boldsymbol{r'}$ vektorra, vagyis $\displaystyle \boldsymbol{p}\left(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{r'}\right)=0,$ így

$\displaystyle \boldsymbol{p}\boldsymbol{r}=-\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'}\qquad \text{és}\qquad (\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})^2=(-\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})^2=p^2r^2\cos^2\alpha.$

A felületi töltéssűrűség eltűnésének feltétele (behelyettesítés és 2-vel való osztás után):

$\displaystyle 3p^2r^2\cos^2\alpha=p^2r^2,$

azaz $\displaystyle \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt3}$. Innen a kérdéses távolság

$\displaystyle R=h\tg\alpha=\sqrt{2}\,h,$

vagyis a fémfelület töltéssűrűsége egy $\displaystyle R$ sugarú kör mentén válik zérussá.

III. megoldás. Gauss sokat foglalkozott a mágneses dipólusok által keltett mágneses mező sajátságaival. Megállapította, hogy egy $\displaystyle \boldsymbol{m}$ erősségű mágneses dipólus tengelye mentén, attól $\displaystyle r$ távolságban a mágneses tér (mai szóhasználattal: a mágneses indukció) $\displaystyle \boldsymbol{m}$ irányú és $\displaystyle 2k\frac{m}{r^3}$ nagyságú. Az arányossági tényező a mértékegységek választásától függ, Gauss például $\displaystyle k$-t 1-nek vette; SI egységekben pedig $\displaystyle k=\mu_0/(4\pi)$. Gauss azt is megállapította, hogy a dipólus tengelyére merőleges irányban a mágneses indukció $\displaystyle \boldsymbol{m}$-mel ellentétes irányú és $\displaystyle k\frac{m}{r^3}$ nagyságú. Ezt a két irányt (vagyis amikor $\displaystyle \boldsymbol{r}$ párhuzamos, illetve merőleges $\displaystyle \boldsymbol{m}$-re) Gauss-féle I. és II. főhelyzetnek nevezik.

Az elektromos dipólusok által keltett elektromos tér a főhelyzetekben a mágneses térrel analóg összefüggésekkel írható le. Bontsuk fel $\displaystyle \boldsymbol{p}$-t két olyan vektor összegére, amelyeknek a keresett $\displaystyle P$ pont a Gauss-féle I., illetve II. főhelyzetébe kerül, és járjunk el ugyanígy a tükördipólus esetében is (2. ábra).

2. ábra

Az egyes dipóluskomponensek nagysága $\displaystyle p\cos\alpha$ és $\displaystyle p\sin\alpha$, és a $\displaystyle P$ pont mindegyik dipól-összetevőtől ugyanakkora $\displaystyle r$ távolságban van. Ennek megfelelően az eredő elektromos térerősség a fémlemez $\displaystyle P$ pontjánál – a szuperpozíció-elvnek megfelelően – a négy járulék összege

$\displaystyle 2\lambda\cos^2\alpha-\lambda\sin^2\alpha+2\lambda\cos^2\alpha-\lambda\sin^2\alpha=0.$

(A $\displaystyle \lambda$ állandó a fentebb említett $\displaystyle k$ konstans elektrosztatikus megfelelőjének és a mindegyik dipól-összetevőre ugyanakkora $\displaystyle p/r^3$ tényezőnek a szorzata.) A nulla töltéssűrűségű helyeket tehát a $\displaystyle 4\cos^2\alpha=2\sin^2\alpha$ egyenlet jellemzi, ahonnan

$\displaystyle \tg\alpha=\sqrt2,\qquad\text{és így}\qquad R=\sqrt2\,h.$

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Gerendás Roland, Kiss 131 Adorján Timon, Pázmándi József Áron, Seprődi Barnabás Bendegúz.
4 pontot kapott:	Dobos Anita, Tóth Kolos Barnabás.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai