 |
A P. 5575. feladat (2024. május) |
P. 5575. Nagy méretű, földelt fémlap felett \(\displaystyle h\) magasságban egy kicsiny elektromos dipólust helyezünk el. Mindezt úgy tesszük, hogy annak \(\displaystyle \boldsymbol{p}\) dipólmomentuma az ábrán látott módon felfelé mutasson.
Határozzuk meg a fémlapon azon pontok helyét, ahol a felületi töltéssűrűség zérus!
Közli: Németh Róbert, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.
I. megoldás. Az elektromos dipólus modellezéséhez induljunk ki egy \(\displaystyle q\) és egy \(\displaystyle -q\) töltésből képzett párból, amelyek egymástól \(\displaystyle d\) távolságra helyezkednek el. Ha elvégezzük a \(\displaystyle d\to 0\), \(\displaystyle q\to\infty\) határértékeket a \(\displaystyle p=qd\) konstans feltétel mellett, akkor megkapjuk az ideális dipólust.
Vizsgáljuk meg, hogy mi történik a tükörtöltésekkel a határérték elvégzése közben! A \(\displaystyle q\) illetve \(\displaystyle -q\) töltésekhez rendre \(\displaystyle -q\) illetve \(\displaystyle q\) tükörtöltések tartoznak, amelyek egymástól vett távolsága \(\displaystyle d\). Mivel a töltések előjele felcserélődik, az említett limeszben könnyen látható, hogy a tükördipólus a valódival párhuzamos \(\displaystyle \boldsymbol{p}\) dipólmomentummal jellemezhető.
Az elektromos térerősség értéke a koordináta-rendszer \(\displaystyle (x,y)\) síkjába helyezett fémlap felületén, az elrendezés szimmetriatengelyétől \(\displaystyle r\) távolságra a valódi és tükördipólusok járulékainak összegeként adódik:
\(\displaystyle \boldsymbol{E}(r)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{3ph^2-p(h^2+r^2)}{(h^2+r^2)^{5/2}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\)
ez a várakozásainknak megfelelően merőleges a fémlapra. A felületi töltéssűrűség a \(\displaystyle \sigma=\varepsilon_0 E\) összefüggésből kapható:
\(\displaystyle \sigma(r)=\frac{p}{2\pi}\frac{2h^2-r^2}{(h^2+r^2)^{5/2}}.\)
Jól látható, hogy a fenti kifejezés számlálója zérussá válik, amennyiben a \(\displaystyle r\) sugár az alábbi \(\displaystyle R\) értéket veszi fel:
\(\displaystyle R=\sqrt{2}\,h.\)
A töltéssűrűség tehát egy ekkora sugarú körvonal mentén zérus.
II. megoldás. A fémlap közvetlen közelében az elektromos térerősség merőleges a fémlapra, nagysága helyről helyre változó \(\displaystyle E_\perp\). A fémlap felületi töltéssűrűsége (egységnyi felületen található töltés nagysága) a Gauss-féle fluxustörvény szerint arányos az \(\displaystyle E_\perp\) komponenssel, tehát ott válik nullává, ahol \(\displaystyle E_\perp\) eltűnik.
A fémlapnak a dipólust tartalmazó oldalán az elektromos térerősség úgy számítható ki, mintha a fémlap ott se lenne. Helyette a ténylegesen ott lévő (az alábbi ábrákon pirosan jelölt) dipólus mellett egy, annak a fémlapra vett tükörkép-pontjában található másik, ugyancsak \(\displaystyle \boldsymbol p\) dipólmomentummal rendelkező (kék színnel jelölt) ,,tükördipólus'' elektromos terét is számításba kell vegyük. (Ez a tükrözési módszer az elektrosztatikában.)
Megjegyzés. Érdekes, hogy a tükördipól iránya nem tükröződik, hanem \(\displaystyle \boldsymbol{p}\)-vel megegyező marad. Ennek az a szemléletes magyarázata, hogy a tükrözés során a dipólust alkotó két, egymáshoz közeli töltést összekötő vektor iránya is és a töltések előjele is megváltozik, a szorzatuk tehát változatlan marad.
Egyetlen elektromos dipólus térerőssége a dipólus helyétől \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) vektorral megadott pontban
\(\displaystyle \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}r^2}{r^5}.\)
(Ez a formula tankönyvekben és az interneten is megtalálható.)
Esetünkben a teljes elektromos térerősség a valódi és a tükördipólus terének összege:
\(\displaystyle \boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}r^2}{r^5} +\frac{(3\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})\boldsymbol{r'}-\boldsymbol{p}r'^2}{r'^5}\right),\)
ahol \(\displaystyle \boldsymbol{r'}\) a tükördipólustól a vizsgált pontba mutató vektor (1. ábra). Az ábráról leolvasható, hogy \(\displaystyle \vert\boldsymbol{r'}\vert\equiv r'=r.\)
1. ábra
A fenti térerősségnek a normális irányú (a fémlapra merőleges) komponense akkor nulla, ha \(\displaystyle \boldsymbol{E}\)-t egy normális irányú vektorral, például \(\displaystyle \boldsymbol{p}\)-vel skalárisan szorozva nullát kapunk: \(\displaystyle \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{p}=0\). Ez akkor teljesül, ha
\(\displaystyle 3(\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})^2+3(\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})^2-2p^2r^2=0.\)
Tekintettel arra, hogy \(\displaystyle \boldsymbol{p}\) merőleges az \(\displaystyle \boldsymbol{r}+\boldsymbol{r'}\) vektorra, vagyis \(\displaystyle \boldsymbol{p}\left(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{r'}\right)=0,\) így
\(\displaystyle \boldsymbol{p}\boldsymbol{r}=-\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'}\qquad \text{és}\qquad (\boldsymbol{p}\boldsymbol{r})^2=(-\boldsymbol{p}\boldsymbol{r'})^2=p^2r^2\cos^2\alpha.\)
A felületi töltéssűrűség eltűnésének feltétele (behelyettesítés és 2-vel való osztás után):
\(\displaystyle 3p^2r^2\cos^2\alpha=p^2r^2,\)
azaz \(\displaystyle \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt3}\). Innen a kérdéses távolság
\(\displaystyle R=h\tg\alpha=\sqrt{2}\,h,\)
vagyis a fémfelület töltéssűrűsége egy \(\displaystyle R\) sugarú kör mentén válik zérussá.
III. megoldás. Gauss sokat foglalkozott a mágneses dipólusok által keltett mágneses mező sajátságaival. Megállapította, hogy egy \(\displaystyle \boldsymbol{m}\) erősségű mágneses dipólus tengelye mentén, attól \(\displaystyle r\) távolságban a mágneses tér (mai szóhasználattal: a mágneses indukció) \(\displaystyle \boldsymbol{m}\) irányú és \(\displaystyle 2k\frac{m}{r^3}\) nagyságú. Az arányossági tényező a mértékegységek választásától függ, Gauss például \(\displaystyle k\)-t 1-nek vette; SI egységekben pedig \(\displaystyle k=\mu_0/(4\pi)\). Gauss azt is megállapította, hogy a dipólus tengelyére merőleges irányban a mágneses indukció \(\displaystyle \boldsymbol{m}\)-mel ellentétes irányú és \(\displaystyle k\frac{m}{r^3}\) nagyságú. Ezt a két irányt (vagyis amikor \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) párhuzamos, illetve merőleges \(\displaystyle \boldsymbol{m}\)-re) Gauss-féle I. és II. főhelyzetnek nevezik.
Az elektromos dipólusok által keltett elektromos tér a főhelyzetekben a mágneses térrel analóg összefüggésekkel írható le. Bontsuk fel \(\displaystyle \boldsymbol{p}\)-t két olyan vektor összegére, amelyeknek a keresett \(\displaystyle P\) pont a Gauss-féle I., illetve II. főhelyzetébe kerül, és járjunk el ugyanígy a tükördipólus esetében is (2. ábra).
2. ábra
Az egyes dipóluskomponensek nagysága \(\displaystyle p\cos\alpha\) és \(\displaystyle p\sin\alpha\), és a \(\displaystyle P\) pont mindegyik dipól-összetevőtől ugyanakkora \(\displaystyle r\) távolságban van. Ennek megfelelően az eredő elektromos térerősség a fémlemez \(\displaystyle P\) pontjánál – a szuperpozíció-elvnek megfelelően – a négy járulék összege
\(\displaystyle 2\lambda\cos^2\alpha-\lambda\sin^2\alpha+2\lambda\cos^2\alpha-\lambda\sin^2\alpha=0.\)
(A \(\displaystyle \lambda\) állandó a fentebb említett \(\displaystyle k\) konstans elektrosztatikus megfelelőjének és a mindegyik dipól-összetevőre ugyanakkora \(\displaystyle p/r^3\) tényezőnek a szorzata.) A nulla töltéssűrűségű helyeket tehát a \(\displaystyle 4\cos^2\alpha=2\sin^2\alpha\) egyenlet jellemzi, ahonnan
\(\displaystyle \tg\alpha=\sqrt2,\qquad\text{és így}\qquad R=\sqrt2\,h.\)
Statisztika:
12 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Gerendás Roland, Kiss 131 Adorján Timon, Pázmándi József Áron, Seprődi Barnabás Bendegúz. 4 pontot kapott: Dobos Anita, Tóth Kolos Barnabás. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai