Problem P. 5576. (May 2024)
P. 5576. Suppose that we have measuring instruments that measure not only the RMS value of sinusoidal AC current or AC voltage, but also that of any periodic signal.
\(\displaystyle a)\) Connect an ideal inductor with self-inductance \(\displaystyle L\) to a voltage generator with frequency \(\displaystyle f=1/T\), which provides a symmetrical square-wave signal. Using ideal voltmeter and ammeter, measure the RMS value of the current through the inductor and the RMS value of the voltage across the voltage generator. The first figure shows the square waveform, and we know that at time \(\displaystyle t=0\) the current through the inductor is zero.
\(\displaystyle b)\) Connect an ideal capacitor with capacitance \(\displaystyle C\) to a voltage generator with frequency \(\displaystyle f=1/T\), which provides a symmetrical square-wave signal. Using ideal voltmeter and ammeter, measure the RMS value of the current through the capacitor and the RMS value of the voltage across the voltage generator. The second figure shows the square waveform, and we know that at time \(\displaystyle t=0\) the voltage across the capacitor is zero.
What are the readings of the meters for the connection in part \(\displaystyle a)\) and in part \(\displaystyle b)\)? Give the answers in terms of \(\displaystyle I_\mathrm{max}\), \(\displaystyle U_\mathrm{max}\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle f\).
(5 pont)
Deadline expired on June 17, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az effektív érték a négyzetérték időátlagából vont gyöknek felel meg. Az \(\displaystyle a)\) esetben a feszültséggenerátor, a \(\displaystyle b)\) esetben pedig az áramgenerátor négyszögjeleket produkál, melyeknek a négyzete időben állandó, tehát ezek esetében a műszerek egyszerűen \(\displaystyle U_{\mathrm{max}}\), illetve \(\displaystyle I_{\mathrm{max}}\) értékeket fognak mutatni.
\(\displaystyle a)\) Az ideális induktivitásra kapcsolt állandó feszültség időben lineárisan változó áramot hoz létre az \(\displaystyle U=L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) összefüggés alapján. Esetünkben ez az áramerősség-idő függvény a \(\displaystyle 0\le t\le\tfrac{T}{4}\) intervallumban:
\(\displaystyle I(t)=\frac{U_{\mathrm{max}}}{L}t.\)
A periodikusan \(\displaystyle +U_{\mathrm{max}}\) és \(\displaystyle -U_{\mathrm{max}}\) között váltakozó feszültség hatására kialakuló áramerősség, illetve az áramerősség négyzetének időfüggését a következő grafikon mutatja:
A fentiek alapján láthatjuk, hogy
\(\displaystyle I_{\mathrm{max}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{L}\frac{T}{4}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{4Lf},\)
illetve
\(\displaystyle I_{\mathrm{max}}^2=\frac{U_{\mathrm{max}}^2}{L^2}\frac{T^2}{16}=\frac{U_{\mathrm{max}}^2}{16L^2f^2}.\)
Közismert, hogy az \(\displaystyle y=x^2\) függvény görbe alatti területe a \(\displaystyle [0,1]\) intervallumban \(\displaystyle \tfrac{1}{3}\), így a grafikonokon látható periodikus áram effektív értéke:
\(\displaystyle I_\mathrm{eff}=\frac{I_\mathrm{max}}{\sqrt{3}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{4\sqrt{3}Lf}.\)
\(\displaystyle b)\) Az előzőekhez nagyon hasonló a kondenzátor viselkedése, ha a fegyverzetére négyszögjelet produkáló áramgenerátort kapcsolunk. A kondenzátor töltése a \(\displaystyle 0\le t\le\tfrac{T}{4}\) időintervallumban lineárisan növekszik: \(\displaystyle Q(t)=I_\mathrm{max}t\), és ekkor a fegyverzetein mérhető feszültség
\(\displaystyle U(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{I_\mathrm{max}}{C}t\)
lesz. A feszültség-idő grafikon az origóra szimmetrikus háromszögjel lesz, ami teljesen hasonló, mint az \(\displaystyle a)\) részben tárgyalt áram-idő grafikon.
A feszültség maximális értéke
\(\displaystyle U_\mathrm{max}=\frac{I_\mathrm{max}}{C}\frac{T}{4}=\frac{I_\mathrm{max}}{4Cf},\)
és végül a feszültség effektív értéke:
\(\displaystyle U_\mathrm{eff}=\frac{U_\mathrm{max}}{\sqrt{3}}=\frac{I_{\mathrm{max}}}{4\sqrt{3}Cf}.\)
Statistics:
9 students sent a solution. 5 points: Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Szabó Donát. 4 points: Dobos Anita, Tóth Kolos Barnabás. 3 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2024