A P. 5576. feladat (2024. május)

P. 5576. Tegyük fel, hogy rendelkezünk olyan mérőműszerekkel, amelyek nemcsak szinuszos váltóáram, illetve váltófeszültség effektív értékét mérik, hanem tetszőleges periodikus jelekét is.

$\displaystyle a)$ Csatlakoztassunk egy $\displaystyle f=1/T$ frekvenciájú, szimmetrikus négyszögjelet szolgáltató feszültséggenerátorra egy ideális induktivitást, amelynek önindukciós együtthatója $\displaystyle L$. Ideális feszültség- és árammérő műszerekkel megmérjük az induktivitás áramának effektív értékét, illetve a feszültséggenerátor feszültségének effektív értékét. Mit mutatnak a műszerek, ha a négyszögjel lefutását a következő ábra mutatja, továbbá tudjuk, hogy a $\displaystyle t=0$ időpillanatban az induktivitás árama zérus?

$\displaystyle b)$ Csatlakoztassunk egy $\displaystyle f=1/T$ frekvenciájú, szimmetrikus négyszögjelet szolgáltató áramgenerátorra egy ideális kondenzátort, amelynek kapacitása $\displaystyle C$. Ideális feszültség- és árammérő műszerekkel megmérjük a kondenzátor áramának effektív értékét, illetve a áramgenerátor kimeneti feszültségének effektív értékét. Mit mutatnak a műszerek, ha a négyszögjel lefutását a következő ábra mutatja, továbbá tudjuk, hogy a kondenzátor feszültsége a $\displaystyle t=0$ időpillanatban zérus?

Mit mutatnak a műszerek az $\displaystyle a)$ és a $\displaystyle b)$ esetben? A válaszokat $\displaystyle I_\mathrm{max}$, $\displaystyle U_\mathrm{max}$, $\displaystyle L$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle f$ segítségével adjuk meg.

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Az effektív érték a négyzetérték időátlagából vont gyöknek felel meg. Az $\displaystyle a)$ esetben a feszültséggenerátor, a $\displaystyle b)$ esetben pedig az áramgenerátor négyszögjeleket produkál, melyeknek a négyzete időben állandó, tehát ezek esetében a műszerek egyszerűen $\displaystyle U_{\mathrm{max}}$, illetve $\displaystyle I_{\mathrm{max}}$ értékeket fognak mutatni.

$\displaystyle a)$ Az ideális induktivitásra kapcsolt állandó feszültség időben lineárisan változó áramot hoz létre az $\displaystyle U=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ összefüggés alapján. Esetünkben ez az áramerősség-idő függvény a $\displaystyle 0\le t\le\tfrac{T}{4}$ intervallumban:

$\displaystyle I(t)=\frac{U_{\mathrm{max}}}{L}t.$

A periodikusan $\displaystyle +U_{\mathrm{max}}$ és $\displaystyle -U_{\mathrm{max}}$ között váltakozó feszültség hatására kialakuló áramerősség, illetve az áramerősség négyzetének időfüggését a következő grafikon mutatja:

A fentiek alapján láthatjuk, hogy

$\displaystyle I_{\mathrm{max}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{L}\frac{T}{4}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{4Lf},$

illetve

$\displaystyle I_{\mathrm{max}}^2=\frac{U_{\mathrm{max}}^2}{L^2}\frac{T^2}{16}=\frac{U_{\mathrm{max}}^2}{16L^2f^2}.$

Közismert, hogy az $\displaystyle y=x^2$ függvény görbe alatti területe a $\displaystyle [0,1]$ intervallumban $\displaystyle \tfrac{1}{3}$, így a grafikonokon látható periodikus áram effektív értéke:

$\displaystyle I_\mathrm{eff}=\frac{I_\mathrm{max}}{\sqrt{3}}=\frac{U_{\mathrm{max}}}{4\sqrt{3}Lf}.$

$\displaystyle b)$ Az előzőekhez nagyon hasonló a kondenzátor viselkedése, ha a fegyverzetére négyszögjelet produkáló áramgenerátort kapcsolunk. A kondenzátor töltése a $\displaystyle 0\le t\le\tfrac{T}{4}$ időintervallumban lineárisan növekszik: $\displaystyle Q(t)=I_\mathrm{max}t$, és ekkor a fegyverzetein mérhető feszültség

$\displaystyle U(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{I_\mathrm{max}}{C}t$

lesz. A feszültség-idő grafikon az origóra szimmetrikus háromszögjel lesz, ami teljesen hasonló, mint az $\displaystyle a)$ részben tárgyalt áram-idő grafikon.

A feszültség maximális értéke

$\displaystyle U_\mathrm{max}=\frac{I_\mathrm{max}}{C}\frac{T}{4}=\frac{I_\mathrm{max}}{4Cf},$

és végül a feszültség effektív értéke:

$\displaystyle U_\mathrm{eff}=\frac{U_\mathrm{max}}{\sqrt{3}}=\frac{I_{\mathrm{max}}}{4\sqrt{3}Cf}.$

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Szabó Donát.
4 pontot kapott:	Dobos Anita, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai