A P. 5579. feladat (2024. május)

P. 5579. Helsinkiben karácsonykor kicsit több mint 6 és fél perc alatt kel fel a Nap. Mikor lesz ugyanott az év során a legrövidebb ez az időtartam? Hány percig tart Helsinkiben a leggyorsabb napfelkelte?

Helsinki az északi szélesség 60. fokán fekszik, sík területen. A Nap látszólagos átmérője körülbelül fél fok. A földpálya excentricitásából származó kicsiny eltérésekkel és a légkör hatásával ebben a feladatban ne foglalkozzunk.

Közli: Vankó Péter, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. június 17-én LEJÁRT.

I. megoldás. Tekintsük a Földet a keringési síkjában a Nap-Föld tengelyre merőleges irányból. A Föld felületének egyik oldaláról a teljes Nap látszik, a másik oldalról nézve a teljes Nap a horizont alatt van. A két részt (a Föld sugarát $\displaystyle R$-rel jelölve) egy a Nap $\displaystyle \Delta\eta$ látószögével egyenlő középponti szöggel jellemezhető, szimmetrikusan elhelyezkedő

$\displaystyle d=\Delta\eta\,R$

szélességű sáv (gömböv) választja el egymástól, amelyből a Nap egy része látszik csak. A felszín egy adott pontján addig tart a napfelkelte (napnyugta), amíg az adott pont ezen a sávon áthalad. Ha eltekintünk a pályamenti mozgástól, a forgásból adódó sebesség minden pontban időben állandó, így a napfelkelte ideje akkor a legrövidebb, ha a pont ezen a sávon merőlegesen halad át. Ez akkor van, ha a forgástengely merőleges a Nap-Föld tengelyre, azaz vagy a tavaszi, vagy az őszi nap-éj egyenlőségkor. A $\displaystyle \varphi$ szélességi kör pontjainak a sebessége (a Föld lapultságát figyelmen kívül hagyva)

$\displaystyle v=\frac{2\pi R\cos\varphi}{T},$

ahol $\displaystyle T$ a forgás periódusa, azaz egy nap. Mindebből a napfelkelte időtartama

$\displaystyle \Delta t=\frac{d}{v}=\frac{\Delta\eta}{2\pi}\frac{1}{\cos\varphi}T$

Adatainkkal ($\displaystyle \Delta\eta=0{,}5^{\circ}=\tfrac{0{,}5}{360}2\pi$, $\displaystyle \varphi=60^{\circ}$) $\displaystyle \Delta t=4$ percet kapunk.

Megjegyzés. Abból, hogy a nap-éj egyenlőség idején a földfelszín minden pontja merőlegesen halad át a ,,napfelkelte (napnyugta) sávon", nem következik, hogy ilyenkor a Nap függőlegesen emelkedik a horizont fölé (vagy süllyed az alá). A Nap látszólagos útjának a horizonttal bezárt szögét az határozza meg, hogy földfelszín minden, – az egyenlítőtől különböző – pontjában maga a horizont is forog $\displaystyle \omega \sin \varphi=(360^{\circ}/\mathrm{nap})\sin\varphi$ szögsebességgel. (Ez a szögsebesség a Föld szögsebesség vektorának az adott ponthoz tartozó horizont síkjára merőleges komponense.)

Ezzel a feladatban feltett kérdést megválaszoltuk, a továbbiakban a probléma teljesebb leírása szerepel.

Ebben a közelítésben (amikor tehát elhanyagoltuk a Föld lapultságát, a keringését a Nap körül, és a légkör hatását) a napfelkelte és napnyugta hossza viszonylag könnyen kiszámítható az év bármely napjára. Elsőként rögzítsük a viszonyítási rendszereket! Legyen az $\displaystyle x$ tengely a Nap-Föld tengely meghosszabbítása a sötét oldalon, az $\displaystyle y$ tengely erre merőleges a keringés síkjában, és a $\displaystyle z$ pedig mindkettőre merőleges! Ebben a rendszerben a ,,napkelte-napnyugta'' sáv a Föld felszínének és az $\displaystyle S_\pm: x=\pm d/2$ síkoknak a metszetei által határolt gömböv. A forgástengely helyzetét adjuk meg gömbi polár koordináták segítségével: a $\displaystyle \theta$ polárszöget (ami a Föld-tengely esetében mindig 23,5$\displaystyle ^\circ$ ) mérjük a $\displaystyle z$, a $\displaystyle \psi$ azimutot pedig az $\displaystyle x$ tengelytől! Így a forgástengely irányát megadó $\displaystyle \mathbf{e}(\psi,\theta)$ egységvektor

$\displaystyle \mathbf{e}(\psi,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\psi\sin\theta\\ \sin\psi\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix}.$

Ebből megállapítható az Egyenlítő (és így bármelyik szélességi kör) síkjának az $\displaystyle S_\pm$ síkokkal bezárt $\displaystyle \alpha$ szöge. Ez azonos a kérdéses síkok normálisainak, azaz a forgástengelynek és az $\displaystyle x$ tengelynek a szögével, aminek a koszinusza éppen az $\displaystyle \mathbf{e}(\psi,\theta)$ $\displaystyle x$ komponense:

$\displaystyle \cos\alpha=\cos\psi\sin\theta$

A konstrukcióból következően $\displaystyle \alpha$ a Nap iránya és az Egyenlítő síkja által bezárt $\displaystyle -\phi$ szög pótszöge, $\displaystyle \cos\psi\sin\theta=\cos\alpha=-\sin\phi$. (Itt azt a konvenciót követjük, hogy $\displaystyle \phi$ pozitív, ha a Nap az Egyenlítő ,,fölött'', és negatív, ha az ,,alatt'' van. Az ábra egy téli helyzetet mutat, ilyenkor $\displaystyle \alpha<\pi/2$, és $\displaystyle \phi<0$. Ebben a konvencióban az $\displaystyle \alpha-\phi=\pi/2$ összefüggés igaz nyáron is, amikor $\displaystyle \alpha>\pi/2$ tehát formálisan nincs pótszöge.)

1. ábra

Az 1/a ábra azt a síkmetszetet mutatja, amely merőleges az $\displaystyle S_\pm$ síkokra, a szélességi körökre, és magába foglalja a Föld forgástengelyét (tehát nem a fentiekben definiált $\displaystyle x$-$\displaystyle z$ sík!), míg az 1/b ábra a $\displaystyle \varphi$ szélességi kört tartalmazó, (az 1/a ábra síkjára) merőleges metszet látható. (Az ábra torz különösen az $\displaystyle S_\pm$ síkok $\displaystyle d$ távolságát illetően, ez ugyanis minden más távolságnál lényegesen kisebb, arányos ábrán nem lehetne a két síkot megkülönböztetni.) Ezekről leolvasható, hogy az $\displaystyle S_\pm$ síkok a $\displaystyle \varphi$ szélességhez tartozó síkot két egymástól

$\displaystyle d'=\frac{d}{\sin\alpha}$

távolságban futó, a középponttól

$\displaystyle m=\frac{M}{\tg\alpha}\pm\frac{d'}{2}\simeq\frac{M}{\tg\alpha}$

távolságra lévő párhuzamos egyenesben metszik, ahol

$\displaystyle M=R\sin\varphi.$

Látható az is, hogy a kérdéses szélességi körnek jó esetben két,

$\displaystyle s=\frac{d'}{\sin\beta}$

hosszúságú szakasza esik a két sík közé, ahol

$\displaystyle \cos\beta=\frac{m}{r}.$

Az eddigieket összegezve tehát a $\displaystyle \varphi$-vel jellemzett szélességi körnek két, egyenként

$\displaystyle s=\frac{R\Delta\eta}{\sqrt{\sin^2{\alpha}-{\tg}^2\varphi\cos^2\alpha}}$

hosszúságú darabja (íve) esik az $\displaystyle S_\pm$ síkok közé, ezek felelnek meg a napfelkeltének és a napnyugtának. A szélességi kör egyes pontjai ezeken

$\displaystyle \Delta t=\frac{s}{v}=\frac{T\Delta\eta}{2\pi\cos\varphi\sqrt{\sin^2\alpha-\tg^2\varphi\cos^2\alpha}}= \frac{T\Delta\eta}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\theta\cos^2\psi}}=\frac{T\Delta\eta}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\phi}}$

idő alatt haladnak végig.

Az általunk felvett $\displaystyle (x,y,z)$ koordináta-rendszer egy év periódussal forog a $\displaystyle z$ tengely körül, ennek megfelelően a $\displaystyle \psi$ ,,visszafelé'' forog, egy év alatt összesen $\displaystyle -2\pi$-t változik. Ha pl. $\displaystyle \delta$-val jelöljük a Föld pályáján való előrehaladásának a szögét a nyári napfordulótól mérve, akkor $\displaystyle \psi=\pi-\delta$. Így a téli napforduló idején $\displaystyle 0$, a tavaszi és őszi nap-éj egyenlőségkor pedig $\displaystyle \pm\pi/2$ értékű. Ez utóbbiak adják a napkelte ill. napnyugta hosszának a szélsőérték helyeit. (Az ábra egy téli helyzetet mutat.) Látható, a kifejezésünk csak addig értelmes, amíg

$\displaystyle \left\vert\cos\varphi\right\vert>\left\vert\sin\theta\cos\psi\right\vert.$

Ennek nyilvánvaló oka, hogy a sarkkörön ($\displaystyle \varphi=\pi/2-\theta$) túl az év bizonyos részeiben nem megy le, illetve nem kel fel a Nap.

Megjegyzés. Képletünk megbízhatatlanná válik, ha

$\displaystyle \left\vert\cos\varphi\right\vert\gtrapprox\left\vert\sin\theta\cos\psi\right\vert.$

Ha ugyanis az adott szélességi kör túl kicsiny szög alatt metszi az $\displaystyle S_\pm$ síkokat, a kettő közötti szakasz hosszának a kiszámításához alkalmazott közelítésünk (az ív helyettesítése egy egyenessel) nem megengedhető. Ennek legszembeötlőbb példája, amikor

$\displaystyle m-\frac{d'}{2}<r<m+\frac{d'}{2}.$

Ilyenkor a napfelkelte és a napnyugta összeér, nem megengedhető a $\displaystyle d'$ elhanyagolása az $\displaystyle m$ mellett, és a pontos ívhosszal kellene számolni. A számításaink során a $\displaystyle \varphi$ változásával nem foglalkoztunk. Ez a változás a pólusokhoz nem túl közel egy napfelkelte alatt nagyságrendileg akkora pontatlanságot visz be az eredménybe, mint a ,,valódi nap'' (a Nap két delelése közti idő) és a forgás periódusa közötti különbség elhanyagolása. Végül megjegyezzük, a sarkok közvetlen közelében a napkelte és napnyugta időtartamát már jelentős részben befolyásolja a $\displaystyle \psi$ változási üteme: azt, hogy a nap-éj egyenlőség idején egy ilyen pont mennyi ideig van a napkelte-napnyugta sávban, attól is függ, hogy maga a pólus mennyi idő alatt halad át ezen a sávon.

Mint azt fentebb már említettük, a Nap emelkedésének az $\displaystyle \varepsilon$ szögét a horizont forgása határozza meg: a napfelkelte $\displaystyle \Delta t$ időtartama alatt a Nap $\displaystyle \Delta\eta$ szöget emelkedik, a horizont pedig $\displaystyle \Delta t\omega\sin\varphi$ szöggel elfordul. Ebből következően

$\displaystyle \varepsilon=\arctg\left(\frac{\Delta\eta}{\Delta t\omega\sin\varphi}\right)=\arctg\left(\frac{\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\theta\cos^2\psi}}{\sin\varphi}\right)=\arctg\left(\frac{\sqrt{\cos^2\varphi-\sin^2\phi}}{\sin\varphi}\right)=\arccos\left(\frac{\sin\varphi}{\cos\phi}\right).$

Néhány egyszerű térgeometriai megfontolás segítségével a napkelte helye (iránya) is meghatározható. Ehhez tekintsük a vizsgált ponthoz tartozó horizontális síkot!

2. ábra

A 2/a ábrán (ami ugyanazt a nézetet mutatja, mint az 1/a ábra, ezért az ott szereplő mennyiségek itt nincsenek újra jelölve), $\displaystyle P$ a vizsgált pont pozíciója akkor, amikor a napfelkelte éppen a felénél tart, és $\displaystyle E$ az a pont, ahol a Föld forgástengelye a $\displaystyle P$ horizontális síkját döfi. Mivel az $\displaystyle OPE\sphericalangle$ szög derékszög, $\displaystyle \overline{OE}=f=R/\sin\varphi$. Az $\displaystyle E$ pontból a Nap felé irányuló egyenes benne fekszik a $\displaystyle P$ horizontális síkjában, és a $\displaystyle P$-n átmenő, a Nap irányára merőleges síkot $\displaystyle K$-ban döfi. $\displaystyle E$ és $\displaystyle K$ az ábra síkjában van, de $\displaystyle P$ $\displaystyle h=\sqrt{r^2-m^2}$ távolságra kiemelkedik abból. A 2/b ábra a Nap felől nézve mutatja a helyzetet, ezen az $\displaystyle E$ és $\displaystyle K$ pontok fedésben vannak. Definíció szerint $\displaystyle P$-től $\displaystyle E$ északra van, így az ábrán bejelölt (de nem az ábra síkjába illeszkedő) $\displaystyle KEP\sphericalangle=\vartheta$ szög a napfelkelte pozícióját adja a déli iránytól mérve. Mivel

$\displaystyle \overline{EP}=k=R\,\ctg\varphi\,,\qquad{\textrm{és}}\qquad\overline{EK}=l=f\cos\alpha=R\frac{\cos\psi\sin\theta}{\sin\varphi},$

$\displaystyle \vartheta=\arccos\left(\frac{l}{k}\right)=\arccos\left(\frac{\sin\theta\cos\psi}{\cos\varphi}\right)=\arccos\left(-\frac{\sin\phi}{\cos\varphi}\right).$

II. megoldás. A Nap napi mozgása során 24 óra alatt tesz meg egy teljes kört a látszólagos pályáján, tehát 4 percenként egy fokot halad rajta. Ebből elhamarkodottan azt a téves következtetést vonhatnánk le, hogy a fél fokos emelkedéshez 2 percre van szükség. Azonban a napéjegyenlőségeket kivéve a látszólagos pálya nem egy főkör, (azaz a körpálya középpontja nem a Föld középpontja, hanem a tengely valamelyik pontja), így a Nap az égbolton (a napéjegyenlőségeket kivéve) ennél kisebb szögsebességgel mozog. Ezen kívül a Nap csak az Egyenlítőn kel fel és nyugszik le a horizontra merőlegesen (ott egész évben), máshol viszont (az évszaktól és a földrajzi helytől függően más-más) laposabb szögben. Mindkét hatás befolyásolja a napkelte és napnyugta időtartamát.

A Nap éves mozgása során látszólagosan az ekliptikán mozog a csillagokhoz képest, így az egyenlítő síkjához képesti szöge az év során folyamatosan változik $\displaystyle \pm\phi_0$ szélsőértékek között, ahol $\displaystyle \phi_0=23{,}4^\circ$, a Föld tengelyferdesége. Ha a Föld-pálya kicsiny excentricitásával nem foglalkozunk, akkor a szög változása első közelítésben

ahol $\displaystyle \delta=\tfrac{d}{365,24\,\mathrm{nap}}2\pi$, és $\displaystyle d$ a napok száma a nyári napfordulótól számítva (3. ábra).

3. ábra

Megjegyzés. Ez a közelítés azt se veszi figyelembe, hogy a Nap az ekliptikán mozog (a körpálya közelítést használva) egyenletes sebességgel, de ezt levetítve az egyenlítőre már nem lesz egyenletes a mozgása. (Ez okozza az időegyenlet esetében is a féléves periódusú tagot, lásd a P. 3118. feladat megoldását a KöMaL 1999. áprilisi számában:
http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=42077

Pontosabb eredményt kapunk a következőképpen: Vegyük fel a koordináta-rendszert úgy, hogy a $\displaystyle z_0$ tengelye merőleges legyen az ekliptika síkjára, $\displaystyle x_0$ tengelye pedig a tavaszpont felé (és így $\displaystyle y_0$ tengelye a nyári napforduló irányába) mutasson. Ekkor a Földtől a Nap irányába mutató $\displaystyle \boldsymbol{n_0}$ egységvektor, valamint a Föld tengelyének $\displaystyle \boldsymbol{t}$ irányvektora:

A Nap irányvektora és az egyenlítő síkja által bezárt $\displaystyle \phi$ szög a Nap irányvektora és a Föld tengelye által bezárt szög pótszöge, így

A két számítás között a napfordulókkor és a napéjegyenlőségekkor nincs eltérés, máskor legfeljebb $\displaystyle 0{,}2^\circ$. A feladatunk megoldása szempontjából az (1) közelítés is elég (sőt már az is, hogy $\displaystyle \phi=\phi_0$ a nyári napfordulókor, majd folyamatosan csökken, az őszi napéjegyenlőség idején $\displaystyle \phi=0$, a téli napfordulókor $\displaystyle \phi=-\phi_0$, és így tovább).

Ezután meghatározhatjuk, hogy a Nap adott $\displaystyle \phi$ szög esetén (a deleléshez képest) mikor (és hol) kel fel, illetve nyugszik le. (Az időpont levezetése megtalálható az előbbi megjegyzésben említett P. 3118. feladat megoldásában is.)

Most vegyük fel a koordináta-rendszert úgy, hogy a $\displaystyle z$ tengely a Föld forgástengelyével legyen párhuzamos, az $\displaystyle y$ tengely pedig erre merőlegesen, a déli irányba mutasson (azaz a Nap az $\displaystyle yz$ síkban legyen). Ekkor a Föld felszínének egy $\displaystyle \varphi$ szélességű pontja felé mutató egységvektor:

$\displaystyle \boldsymbol{r}=(-\cos\varphi\sin\tau,\,\cos\varphi\cos\tau,\,\sin\varphi),$

ahol $\displaystyle \tau=\tfrac{t}{24^\mathrm{h}}2\pi$ és $\displaystyle t$ a deleléstől számított idő órákban, a Nap irányvektora pedig

Napkelte vagy napnyugta akkor van, amikor a Nap a horizonton látszik, azaz iránya merőleges az adott hely irányába (a zenit felé) mutató $\displaystyle \boldsymbol{r}_\mathrm{h}=\boldsymbol{r}(\tau_\mathrm{h})$ egységvektorra:

Ez a kifejezés nem mindig ad megoldást $\displaystyle \tau_\mathrm{h}$-ra, hiszen (a sarkok közelében) lehet, hogy a Nap nem is kel fel, vagy le sem nyugszik az adott napon. Amennyiben van megoldása, akkor

$\displaystyle t_{1,2}=\mp\tfrac{24^\mathrm{h}}{2\pi}\arccos(-\tg\varphi\tg\phi)$

adja meg a Nap keltének, illetve nyugtának időpontját a deleléshez viszonyítva.

Megjegyzés. A napkelte és napnyugta tényleges időpontját a delelés időpontja határozza meg. Ez utóbbi egyrészt függ a választott időzónától és az adott hely és az időzóna középvonala közötti szögkülönbségtől, másrészt a fentebb említett P. 3118. feladatban is vizsgált időegyenlettől (amely körülbelül $\displaystyle \pm15$ perc ingadozást okoz). Az időzónától való eltérés Budapesten (E19$\displaystyle ^\circ$ és CET időzóna) $\displaystyle +4^\circ$, ami 16 perc ,,sietést'' okoz, míg Helsinkiben (E25$\displaystyle ^\circ$ és EET időzóna) $\displaystyle -5^\circ$, ami 20 perc ,,késést'' eredményez. A két hatás miatt Budapesten a delelés időpontja a téli időszámítás idején $\displaystyle 11^\mathrm{h}\,28'$ és $\displaystyle 11^\mathrm{h}\,58'$ között, a nyári időszámítás idején pedig $\displaystyle 12^\mathrm{h}\,28'$ és $\displaystyle 12^\mathrm{h}\,50'$ között, míg Helsinkiben a téli időszámítás idején $\displaystyle 12^\mathrm{h}\,03'$ és $\displaystyle 12^\mathrm{h}\,34'$ között, a nyári időszámítás idején pedig $\displaystyle 13^\mathrm{h}\,04$ és $\displaystyle 13^\mathrm{h}\,24'$ között változik.

Bár a feladat nem kérdezi, érdemes meghatároznunk, hogy hol kel fel és hol nyugszik le a Nap, melyik égtáj irányába? Naivan azt gondolhatnánk, hogy a déli irányhoz képest $\displaystyle \mp\tau_\mathrm{h}$ szögre, de ez nem így van! A $\displaystyle \tau$ szöget a Nap (napi) pályája mentén, az egyenlítő síkjával párhuzamos körön mérjük, az égtájakat pedig a horizont síkjában. A két szögbeosztás (az időegyenlet levezetésénél láthatóval megegyezően most is) csak a $\displaystyle 0^\circ$, $\displaystyle \pm90^\circ$ és $\displaystyle 180^\circ$ szögeknél egyezik meg.

A megfigyelő helye felé mutató egységvektor napkeltekor, illetve napnyugtakor

$\displaystyle \boldsymbol{r}_\mathrm{h}=(\pm\cos\varphi\sin\tau_\mathrm{h},\,-\cos\varphi\cos\tau_\mathrm{h},\,\sin\varphi).$

Napkeltekor, illetve napnyugtakor a horizonton a déli irányba mutató vektor erre merőleges, mégpedig úgy, hogy az $\displaystyle \boldsymbol{r}_\mathrm{h}$ vektort a $\displaystyle \tau_\mathrm{h}$ óraszögű síkban forgatjuk el déli irányba $\displaystyle 90^\circ$-kal:

$\displaystyle \boldsymbol{d}_\mathrm{h}=(\pm\sin\varphi\sin\tau_\mathrm{h},\,-\sin\varphi\cos\tau_\mathrm{h},\,-\cos\varphi).$

A felkelő vagy lenyugvó Nap $\displaystyle \boldsymbol{n}$ irányvektora [(2)] ekkor szintén épp a horizont egy-egy pontjára mutat. A napkelte és napnyugta helyéhez éppen a $\displaystyle \boldsymbol{d}_\mathrm{h}$ és $\displaystyle \boldsymbol{n}$ vektorok által bezárt $\displaystyle \vartheta$ szöget keressük. A szög koszinusza a skalárszorzat alapján, majd behelyettesítve (3)-at és rendezve:

Ha a (3) és (4) kifejezések alapján $\displaystyle \vartheta$-t és $\displaystyle \tau_\mathrm{h}$-t $\displaystyle \phi$ (1)-es kifejezését felhasználva $\displaystyle d$ függvényében ábrázoljuk (a 4. ábrán Budapesten), akkor láthatjuk, hogy $\displaystyle \vartheta$ nagyobb amplitúdóval (Budapesten $\displaystyle 36^\circ$, Helsinkiben $\displaystyle 52{,}6^\circ$) változik a keleti és nyugati irányt jelentő $\displaystyle +90^\circ$ szög körül, mint $\displaystyle \tau_\mathrm{h}$ (Budapesten $\displaystyle 28{,}2^\circ$, Helsinkiben $\displaystyle 48{,}5^\circ$, ami a napkelte, illetve napnyugta 1 óra 53 perces, illetve 3 óra 14 perces éves ingadozásnak felel meg a napéjegyenlőség idején tapasztalható deleléshez viszonyított 6 órás eltérés körül).

4. ábra

Ezután térjünk rá a feladatban megfogalmazott kérdésre: a napkelte (és napnyugta) időtartamára! A napkelte és napnyugta időpontjának meghatározásakor azt kerestük, hogy mikor merőleges a Föld középpontjától a megfigyelőhöz húzott vektor a Nap felé mutató vektorral: ekkor a két vektor skalárszorzatának nullát kellett adnia.

Ehhez hasonlóan, a két vektor skalárszorzatát felírva kiszámíthatjuk egy kicsiny $\displaystyle \Delta t$ időponttal a napkelte után (vagy a napnyugta előtt) a Nap $\displaystyle \Delta\eta$ magasságát a horizont felett. Mivel ez a szög a Nap zenittől mért távolságának pótszöge:

$\displaystyle \sin\Delta\eta=\cos(90^\circ-\Delta\eta)=\boldsymbol{r}(\tau_\mathrm{h}-\Delta\tau)\boldsymbol{n},$

ahol $\displaystyle \Delta\tau=\tfrac{\Delta t}{24^\mathrm{h}}2\pi$. Behelyettesítve, a zárójeles kifejezést felbontva, felhasználva, hogy kis $\displaystyle \Delta\eta$ és $\displaystyle \Delta\tau$ szögekre $\displaystyle \sin\Delta\eta\approx\Delta\eta$, $\displaystyle \sin\Delta\tau\approx\Delta\tau$ és $\displaystyle \cos\Delta\tau\approx 1$:

Ha $\displaystyle \tau_\mathrm{h}$-t (3)-ból kifejezzük és behelyettesítjük, majd a kifejezést tovább alakítjuk:

A napkelte és napnyugta $\displaystyle \Delta t$ időtartamának meghatározása:

Látható, hogy az eredmény a földrajzi helytől ($\displaystyle \varphi$) és az évszaktól ($\displaystyle \phi$) függ. Az évszaktól való függés könnyebben látható, ha a (6) nevezőjében lévő kifejezést átalakítjuk:

$\displaystyle \sqrt{\cos(\varphi+\phi)\cos(\varphi-\phi)}=\sqrt{\cos^2\phi-\sin^2\varphi}.$

Rögzített $\displaystyle \varphi$ esetén $\displaystyle \phi=0$ esetén lesz a nevező maximális. Ez (talán meglepő módon) a tavaszi és az őszi napéjegyenlőségkor következik be, tehát ilyenkor lesz a napkelték és napnyugták időpontja mindenhol a legrövidebb:

$\displaystyle \Delta t_\textrm{napéjegyenlőség}=\frac{2'}{\cos\varphi}.$

Tehát a feladatunk kérdésére választ adva Helsinkiben ($\displaystyle \varphi=60^\circ$) a leggyorsabb napkelte (és napnyugta) időtartama a tavaszi és őszi napéjegyenlőség idején:

$\displaystyle \Delta t_\mathrm{H, min}=\frac{2'}{\cos 60^\circ}=4'.$

A leghosszabb időtartamokat mindenhol a nyári és téli napfordulókor figyelhetjük meg, amikor $\displaystyle \phi=\pm\phi_0$ (3. ábra).

Áttérve a földrajzi helytől való függésre: az Egyenlítőnél $\displaystyle \varphi=0^\circ$, így a (6) kifejezés

$\displaystyle \Delta t_\mathrm{E}=\frac{2'}{\cos\phi}$

alakra egyszerűsödik. $\displaystyle -\phi_0\leq\phi\leq\phi_0$ alapján az időtartam $\displaystyle 2'$ és $\displaystyle 2'\,11''$ között lehet, az év során tehát alig változik.

Budapesten ($\displaystyle \varphi=47{,}5^\circ$) az időtartam hosszabb, és az év során már jelentősebben változik: $\displaystyle 2'\,58''$ (tavaszi és őszi napéjegyenlőség) és $\displaystyle 3'\,40''$ (nyári és téli napforduló) között.

Helsinkiben ($\displaystyle \varphi=60^\circ$) a minimális érték, ahogy láttuk $\displaystyle 4'$, a maximális pedig $\displaystyle 6'\,38''$ (,,kicsit több, mint hat és fél perc'', de nem csak karácsonykor, hanem Szent Iván napján is) (5. ábra).

5. ábra

Tovább haladva észak felé, Luleåban ($\displaystyle \varphi=65^\circ\,30'$) már $\displaystyle 4'\,49''$ és $\displaystyle 16'\,45''$ között változik az időtartam (a sarkkörökhöz közeledve azonban a közelítéseink – a látszólagos pálya egyenes szakasszal való közelítése – egyre kevésbé jogosak). Láthatjuk, hogy $\displaystyle \varphi\pm\phi>90^\circ$ (vagy $\displaystyle \varphi\mp\phi<-90^\circ$) esetén a (6) kifejezés nem ad eredményt: az északi sarkkörön túl nyáron egy ideig nem megy le, télen pedig nem kel fel a Nap (a déli sarkkörön túl pedig fordítva).

Végül – bár szintén nem része a feladatnak – vizsgáljuk meg a Nap pályájának meredekségét a horizontnál! Az (5) kifejezés megadja, hogy mekkora $\displaystyle \Delta\eta$ szöggel emelkedik a Nap a horizont fölé, miközben a pályáján egy (kicsiny) $\displaystyle \Delta\tau$ szöggel elfordul. Ahogy a bevezetőben említettük, a Nap napi mozgása során (általában) nem egy főkörön, hanem egy kisebb $\displaystyle \cos\phi$ sugarú körön mozog, emiatt az égbolton az elmozdulása eközben csak $\displaystyle \Delta\tau\cos\phi$ lesz. Ez alapján a Nap pályájának horizonttal bezárt $\displaystyle \varepsilon$ szöge (érdemes áttérni a szög koszinuszára, mert az könnyebben értelmezhető eredményt ad):

Az Egyenlítőn ($\displaystyle \varphi=0^\circ$) a Nap pályája egész évben merőlegesen metszi a horizontot ($\displaystyle \varepsilon=90^\circ$). Minden más helyen a Nap a tavaszi és őszi napéjegyenlőség idején (amikor $\displaystyle \phi=0^\circ$) emelkedik a legmeredekebben, $\displaystyle 90^\circ-\varphi$ szögben (Budapesten ez $\displaystyle \varepsilon_\mathrm{max}=90^\circ-47{,}5^\circ=42{,}5^\circ$, Helsinkiben pedig $\displaystyle \varepsilon_\mathrm{max}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$), míg a nyári és téli napforduló idején a leglaposabb (Budapesten $\displaystyle \varepsilon_\mathrm{min}=36{,}5^\circ$-os, Helsinkiben $\displaystyle \varepsilon_\mathrm{min}=19{,}3^\circ$-os) szögben (6. ábra).

6. ábra

Megjegyzések. 1. A téli lapos emelkedést, amikor egész nap nem megy magasra a Nap, ,,ösztönösen'' érezni lehet, de a nyári eredmény először meglepő lehet, hiszen olyankor emelkedik a Nap a legmagasabbra. (A korábbi, a napkelte és napnyugta időtartamára kapott eredmény után persze már sejteni lehetett, hogy a meredekségnek nem nyáron, hanem tavasszal és ősszel van maximuma.) Szemléletesen mutatja a nyári lapos emelkedést, hogy például az északi sarkkörön a nyári napfordulókor a nap (északon) csak érinti a horizontot, tehát $\displaystyle \varepsilon=0^\circ$.

2. A (3), (4) és (7) kifejezések összevetéséből láthatjuk, hogy

$\displaystyle \cos\tau_\mathrm{h}=\cos\vartheta\cos\varepsilon,$

amely igazolja, hogy a 2. ábrán megfigyelt $\displaystyle \left|\vartheta-90^\circ\right|\geq\left|\tau_\mathrm{h}-90^\circ\right|$ egyenlőtlenség általánosságban is teljesül.

III. megoldás. Az II. megoldásban vektorokkal dolgoztunk. Most használjunk gömbi geometriát!

Bevezetés. A gömbi geometriában egy egységsugarú gömb felületén futó főkörök a síkgeometria egyeneseinek megfelelői. Egy főkör két pontját összekötő $\displaystyle \pi$-nél nem hosszabb ívet nevezzük gömbi szakasznak. Három, nem egy főkörön elhelyezkedő pont meghatároz egy gömbháromszöget: a pontokat összekötő szakaszok a gömb felületét két tartományra osztják, ezek közül a kisebb területű a gömbháromszög. A gömbháromszög $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ oldalai a csúcsokat összekötő gömbi szakaszok, melyek hossza a főkörívekhez tartozó középponti szögek. A gömbháromszög $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$ szögei a csúcsokban találkozó főkörök csúcsbeli érintő félegyenesei által bezárt szögek (amelyek megegyeznek a csúcsban találkozó főkörívekre fektetett síkok hajlásszögével).

A gömbháromszög oldalaira és szögeire a síkbeli háromszöghöz hasonlóan összefüggések írhatók fel. Ezek közül használni fogjuk a gömbi szinusztételt:

$\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin a}{\sin b},$

az oldalakra vonatkozó gömbi koszinusztételt:

$\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos\gamma,$

valamint a gömbi Pitagorasz-tételt (amely az utóbbi speciális esete, ha $\displaystyle \gamma=90^\circ$):

$\displaystyle \cos c=\cos a\cos b.$

7. ábra

A 7. ábrán egy olyan gömbháromszöget rajzoltunk fel, amelyet egy a $\displaystyle \varphi$ szélességi körön lévő helyről látunk észak felé nézve. A háromszög $\displaystyle P$ csúcsa a Sarkcsillag (Polaris), $\displaystyle N$ csúcsa a horizont északi pontja, $\displaystyle H$ csúcsa pedig a horizontnak az a pontja, ahol a Nap felkel. A gömbháromszög oldalai az (egységsugarú) gömb főkörívei, hosszukat a hozzájuk tartozó középponti szögek adják meg. Eszerint

A gömbháromszög szögei:

A $\displaystyle H$ ponton átmenő görbe (általában nem főkör) a nap pályája, amelynek $\displaystyle H$-beli érintője merőleges a $\displaystyle \overline{PH}$ gömbi szakaszra (hiszen napi mozgása során a Nap a Sarkcsillag körüli körpályán mozog).

Az előkészületek után már nagyon gyorsan megkapjuk a II. megoldásban is levezetett összefüggéseket.

1. Írjuk fel a gömbi szinusz-tételt:

$\displaystyle \frac{\sin(90^\circ-\varepsilon)}{\sin 90^\circ}=\frac{\sin\varphi}{\sin(90^\circ-\phi)},$

amiből a felkelő (és lenyugvó) Nap pályájának horizonttal bezárt szögére a

$\displaystyle \cos\varepsilon=\frac{\sin\varphi}{\cos\phi}$

összefüggés adódik, a (7) kifejezéssel összhangban.

8. ábra

Miközben a Nap $\displaystyle \Delta\eta=0{,}5^\circ$ szöget emelkedik, a $\displaystyle 2\pi\cos\phi$ kerületű pályáján $\displaystyle \Delta\tau\cos\phi$ szöget halad. Így a 8. ábrán látható kicsiny síkháromszögre:

$\displaystyle \sin\varepsilon=\frac{\Delta\eta}{\Delta\tau\cos\phi},$

amelyből ($\displaystyle \cos\varepsilon$ előbbi kifejezését is felhasználva) már megkapható a napkelte (és napnyugta) feladatban kérdezett $\displaystyle \Delta t$ időtartama:

a (6) kifejezéssel megegyezően.

2. A gömbi Pitagorasz-tételt szerint:

$\displaystyle \cos(90^\circ-\phi)=\cos\varphi\cos(180^\circ-\vartheta),$

amiből azonnal

$\displaystyle \cos\vartheta=-\frac{\sin\phi}{\cos\varphi}$

adódik, a (4) összefüggéssel összhangban.

3. Az oldalakra vonatkozó gömbi koszinusztétel alapján:

$\displaystyle \cos(180^\circ-\vartheta)=\cos\varphi\cos(90^\circ-\phi)+\sin\varphi\sin(90^\circ-\phi)\cos(180^\circ-\tau_\mathrm{h}),$

amiből az előbbi eredményt is felhasználva

$\displaystyle \cos\tau_\mathrm{h}=\frac{\cos\vartheta+\cos\varphi\sin\phi}{\sin\varphi\cos\phi}=\frac{-\frac{\sin\phi}{\cos\varphi}+\cos\varphi\sin\phi}{\sin\varphi\cos\phi}=-\tg\varphi\tg\phi,$

a (3) kifejezéssel megegyezően.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Dobos Anita, Erős Fanni, Fehérvári Donát.
5 pontot kapott:	Hegedüs Márk.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi fizika feladatai