 |
A P. 5581. feladat (2024. szeptember) |
P. 5581. Vékony, rugalmas acélszalagból két különböző sugarú karikát készítünk. A vízszintes asztalon csúszó karikákra (viszkózus jellegű) fékezőerő hat, ami arányos a karikák sugarával és a pillanatnyi sebességükkel. Ha a kisebbik karikát \(\displaystyle v_0\) sebességgel meglökjük, akkor a teljes megállásig \(\displaystyle L_0\) utat tesz meg. Lökjük meg az egyik karikát úgy, hogy nekiütközzön a kezdetben álló másiknak, és az ütközés előtt a sebessége \(\displaystyle v\) legyen. Egymástól milyen távolságra állnak meg a karikák, ha az ütközés rugalmas és
\(\displaystyle a)\) egyenes,
\(\displaystyle b)\) tetszőleges?
A karikák sem az ütközés előtt, sem utána nem forognak, méretük az ütközés után megtett utakhoz képest elhanyagolható.
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Egyenes ütközés esetén a karikák középpontja egy egyenes mentén mozog, emiatt az elmozdulás, sebesség és gyorsulás (előjeles) skalár mennyiségekkel adható meg. Nem egyenes ütközésnél az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás (síkbeli) vektorokkal írható le. Ez utóbbi az általánosabb eset, ami magában foglalja az egyenes ütközést is.
A karikák tömege arányos a méretükkel (sugarukkal), emiatt a fékezőerő így írható fel: \(\displaystyle \boldsymbol{F}=-km\boldsymbol{v}\), ahol \(\displaystyle k\) egy állandó. A Newton-féle mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle m\boldsymbol{a}=-km\boldsymbol{v},\)
vagyis
\(\displaystyle \boldsymbol{a}+k\boldsymbol{v}=0.\)
Mivel a gyorsulásvektor a sebességvektor időbeli változásának ütemével (idő szerinti deriváltjával) egyezik meg, a sebességvektor pedig az \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) helyvektor változási ütemét adja meg, ha \(\displaystyle \boldsymbol{a}+k\boldsymbol{v}=0,\) akkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \boldsymbol{v}+k\boldsymbol{r}=\text{állandó vektor},\) |
hiszen a változásának üteme nulla. Ha valamelyik karika kezdetben az \(\displaystyle \boldsymbol{r}_0\) helyen \(\displaystyle \boldsymbol{v}_0\) sebességgel mozgott, és az \(\displaystyle r_1\) helyen áll meg, akkor az (1) megmaradási tétel szerint
\(\displaystyle \boldsymbol{v}_0+k\boldsymbol{r}_0=k\boldsymbol{r}_1,\)
vagyis az elmozdulásvektor az indulástól a megállásig:
\(\displaystyle \boldsymbol{L}_0=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_0=\frac{1}{k}\,\boldsymbol{v}_0.\)
A megadott feltétel szerint \(\displaystyle L_0=v_0/k,\) vagyis \(\displaystyle k=v_0/L_0.\) Ennek megfelelően a karika elmozdulásvektora a \(\displaystyle \boldsymbol{v}\) kezdősebességű indulástól a megállásig
\(\displaystyle \boldsymbol{L}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{v}.\)
Megjegyzés. A karika
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}=-kv(t)\)
mozgásegyenlete a radioaktív bomlások egyenletével azonos alakú, és a megoldása:
\(\displaystyle v(t)=v_0\mathrm{e}^{-kt}.\)
Látszik, hogy véges hosszúságú idő alatt a sebesség nem válik nullává, tehát a karika elvben sohasem áll meg. Másrészt igaz, hogy néhányszor (mondjuk 5-ször) \(\displaystyle 1/k\) idő alatt a sebesség a kezdeti értéknek olyan kicsiny részére csökken, hogy gyakorlatilag nullának tekinthető.
a) Legyen a kezdetben álló karika tömege \(\displaystyle M\), a nekiütköző karikáé \(\displaystyle m\). Az ütközés utáni sebességeket jelölje \(\displaystyle \boldsymbol{U}\) és \(\displaystyle \boldsymbol{u}\) (1. ábra).
1. ábra
Egyenes ütközés esetén a sebességvektorok helyett elegendő azok (előjeles) nagyságával, \(\displaystyle U\)-val és \(\displaystyle u\)-val számolni. Nyilván \(\displaystyle U>u\), és a két karika távolsága a megállásukkor
\(\displaystyle L=\frac{L_0}{v_0}U-\frac{L_0}{v_0}u=\frac{L_0}{v_0}(U-u).\)
Az impulzus- és az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle mv=mu+MU,\qquad\text{illetve}\qquad\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mu^2+\frac{1}{2}MU^2.\)
Ez a két összefüggés egyértelműen meghatározza az ütközés utáni sebességeket:
\(\displaystyle u=\frac{m-M}{m+M}v,\qquad U=\frac{2m}{m+M}v,\)
tehát
\(\displaystyle U-u=\frac{2m}{m+M}v-\frac{m-M}{m+M}v=v,\)
és a keresett távolság:
\(\displaystyle L=\frac{v}{v_0}L_0.\)
Érdekes, hogy ez a távolság a karikák méretétől (tömegétől) függetlenül minden esetben ugyanakkora.
b) Ha az ütközés nem egyenes, a megmaradási törvények nem határozzák meg egyértelműen a karikák ütközés utáni sebességét. Ennek ellenére igaz, hogy
\(\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v,\)
és emiatt a karikák elmozdulásvektorai \(\displaystyle \boldsymbol{R}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{U}\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{u}\), a végső távolságuk pedig
\(\displaystyle L=\vert\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}\vert=\vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert\,\frac{L_0}{v_0}=\frac{v}{v_0}L_0.\)
Az ütközés utáni relatív sebesség nagyságáról háromféle módszerrel is belátjuk, hogy az \(\displaystyle v\)-vel egyezik meg.
1. módszer: Megmaradási törvények alkalmazása. Az impulzus- és az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle m\boldsymbol{v}=m\boldsymbol{u}+M\boldsymbol{U},\qquad\text{illetve}\qquad\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mu^2+\frac{1}{2}MU^2,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\frac{M}{m}\boldsymbol{U},\) |
és
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v^2=u^2+\frac{M}{m}U^2.\) |
A (2) egyenlet négyzetét (önmagával való skaláris szorzatát) (3)-mal összevetve kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle 2\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{U}=\left(1-\frac{M}{m}\right)\,U^2.\) |
Számítsuk ki most az \(\displaystyle \boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\) vektor önmagával való skalárszorzatát, vagyis a relatív sebesség négyzetét:
\(\displaystyle \left(\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\right)^2=U^2+u^2-2\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{U}.\)
Felhasználva a (4), majd a (3) összefüggést, megkapjuk, hogy
\(\displaystyle \left(\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\right)^2=U^2+u^2-\left(1-\frac{M}{m}\right)\,U^2=u^2+\frac{M}{m}U^2=v^2,\)
tehát \(\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v\).
2. módszer: Tömegközépponti rendszer előnyei. Ha két test relatív sebessége valamely vonatkoztatási rendszerben \(\displaystyle \Delta\boldsymbol{v}\), akkor bármely másik, az eredetihez képest mozgó koordináta-rendszerben az egymáshoz viszonyított sebesség ugyanekkora \(\displaystyle \Delta\boldsymbol{v}\). A ,,mozgó'' rendszerre való áttéréskor mindegyik sebességhez ugyanaz a vektor (a vonatkoztatási rendszerek egymáshoz viszonyított sebessége) adódik hozzá, ez tehát a sebességvektorok különbségéből kiesik. (Fizikus szaknyelven szólva: a relatív sebesség Galilei-invariáns mennyiség.)
Két test tömegközépponti (TKP) rendszerében a testek impulzusa (lendülete) \(\displaystyle \boldsymbol{p}\) és \(\displaystyle -\boldsymbol{p}\). A testek rugalmas ütközésekor az impulzusok a TKP-i rendszerben \(\displaystyle \boldsymbol{p}'\) és \(\displaystyle -\boldsymbol{p}'\)-re változnak. Amennyiben az ütközés rugalmas, a \(\displaystyle p^2\)-tel, illetve \(\displaystyle p'^2\)-tel arányos mozgási energia megmaradó mennyiség, fennáll tehát \(\displaystyle \vert\boldsymbol{p}\vert=\vert\boldsymbol{p}'\vert\). A testek sebessége a TKP-i rendszerben egymással ellentétes irányú. A sebességkülönbség is arányos \(\displaystyle p\)-vel, illetve \(\displaystyle p'\)-vel. Mivel az ütközésnél az impulzusok nagysága nem változik, a sebességkülönbségek nagysága is változatlan marad (2. ábra).
2. ábra
Az eredeti (laboratóriumi) rendszerben a sebességkülönbség nagysága \(\displaystyle v\). A Galilei-invariancia miatt ugyanekkora kell, hogy legyen az ütközés utáni sebességkülönbség is, vagyis \(\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v\).
3. módszer: Síkbeli vektorok komplex számokkal. A KöMaL 2024. évi áprilisi számában megjelent Komplex számok a fizikában I. cikk szerint bármely síkbeli \(\displaystyle \boldsymbol{w}=(w_x,w_y)\) vektornak kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egy komplex szám: \(\displaystyle w^*=w_x+iw_y\). (A \(\displaystyle ^*\) azt jelzi, hogy komplex számról van szó, amely különbözik a \(\displaystyle \boldsymbol{w}\) vektor \(\displaystyle w\)-vel jelölt hosszától.)
A ,,komplex vektorokkal'' kényelmesen tárgyalhatók bizonyos fizikai problémák, pl. síkban mozgó testek ütközése. Az idézett cikkben leírtak szerint (a jelöléseket a jelen esethez igazítva), ha egy \(\displaystyle M\) tömegű, álló karikának egy másik, \(\displaystyle m\) tömegű karika \(\displaystyle w^*=v\) sebességgel nekiütközik, akkor a két test sebessége az ütközés után
\(\displaystyle u^*=\left(\frac{m}{M+m}+\frac{M}{M+m}\mathrm{e}^{2i\alpha}\right)v\qquad\text{és}\qquad U^*=\frac{m}{M+m}\left(1-\mathrm{e}^{2i\alpha}\right)v,\)
ahol \(\displaystyle \alpha\) az ütközés ,,ferdeségére'' jellemző szög. A két test relatív sebessége
\(\displaystyle u^*-U^*=\mathrm{e}^{2i\alpha}\,v,\)
melynek nagysága (a komplex szám abszolút értéke):
\(\displaystyle \vert\boldsymbol{u}-\boldsymbol{U}\vert=\vert u^*-U^*\vert=\left|\mathrm{e}^{2i\alpha}\right|v=v.\)
Statisztika:
18 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Tamás, Sütő Áron. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. szeptemberi fizika feladatai