A P. 5581. feladat (2024. szeptember)

P. 5581. Vékony, rugalmas acélszalagból két különböző sugarú karikát készítünk. A vízszintes asztalon csúszó karikákra (viszkózus jellegű) fékezőerő hat, ami arányos a karikák sugarával és a pillanatnyi sebességükkel. Ha a kisebbik karikát $\displaystyle v_0$ sebességgel meglökjük, akkor a teljes megállásig $\displaystyle L_0$ utat tesz meg. Lökjük meg az egyik karikát úgy, hogy nekiütközzön a kezdetben álló másiknak, és az ütközés előtt a sebessége $\displaystyle v$ legyen. Egymástól milyen távolságra állnak meg a karikák, ha az ütközés rugalmas és

$\displaystyle a)$ egyenes,

$\displaystyle b)$ tetszőleges?

A karikák sem az ütközés előtt, sem utána nem forognak, méretük az ütközés után megtett utakhoz képest elhanyagolható.

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Egyenes ütközés esetén a karikák középpontja egy egyenes mentén mozog, emiatt az elmozdulás, sebesség és gyorsulás (előjeles) skalár mennyiségekkel adható meg. Nem egyenes ütközésnél az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás (síkbeli) vektorokkal írható le. Ez utóbbi az általánosabb eset, ami magában foglalja az egyenes ütközést is.

A karikák tömege arányos a méretükkel (sugarukkal), emiatt a fékezőerő így írható fel: $\displaystyle \boldsymbol{F}=-km\boldsymbol{v}$, ahol $\displaystyle k$ egy állandó. A Newton-féle mozgásegyenlet szerint

$\displaystyle m\boldsymbol{a}=-km\boldsymbol{v},$

vagyis

$\displaystyle \boldsymbol{a}+k\boldsymbol{v}=0.$

Mivel a gyorsulásvektor a sebességvektor időbeli változásának ütemével (idő szerinti deriváltjával) egyezik meg, a sebességvektor pedig az $\displaystyle \boldsymbol{r}$ helyvektor változási ütemét adja meg, ha $\displaystyle \boldsymbol{a}+k\boldsymbol{v}=0,$ akkor

hiszen a változásának üteme nulla. Ha valamelyik karika kezdetben az $\displaystyle \boldsymbol{r}_0$ helyen $\displaystyle \boldsymbol{v}_0$ sebességgel mozgott, és az $\displaystyle r_1$ helyen áll meg, akkor az (1) megmaradási tétel szerint

$\displaystyle \boldsymbol{v}_0+k\boldsymbol{r}_0=k\boldsymbol{r}_1,$

vagyis az elmozdulásvektor az indulástól a megállásig:

$\displaystyle \boldsymbol{L}_0=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_0=\frac{1}{k}\,\boldsymbol{v}_0.$

A megadott feltétel szerint $\displaystyle L_0=v_0/k,$ vagyis $\displaystyle k=v_0/L_0.$ Ennek megfelelően a karika elmozdulásvektora a $\displaystyle \boldsymbol{v}$ kezdősebességű indulástól a megállásig

$\displaystyle \boldsymbol{L}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{v}.$

Megjegyzés. A karika

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}=-kv(t)$

mozgásegyenlete a radioaktív bomlások egyenletével azonos alakú, és a megoldása:

$\displaystyle v(t)=v_0\mathrm{e}^{-kt}.$

Látszik, hogy véges hosszúságú idő alatt a sebesség nem válik nullává, tehát a karika elvben sohasem áll meg. Másrészt igaz, hogy néhányszor (mondjuk 5-ször) $\displaystyle 1/k$ idő alatt a sebesség a kezdeti értéknek olyan kicsiny részére csökken, hogy gyakorlatilag nullának tekinthető.

a) Legyen a kezdetben álló karika tömege $\displaystyle M$, a nekiütköző karikáé $\displaystyle m$. Az ütközés utáni sebességeket jelölje $\displaystyle \boldsymbol{U}$ és $\displaystyle \boldsymbol{u}$ (1. ábra).

1. ábra

Egyenes ütközés esetén a sebességvektorok helyett elegendő azok (előjeles) nagyságával, $\displaystyle U$-val és $\displaystyle u$-val számolni. Nyilván $\displaystyle U>u$, és a két karika távolsága a megállásukkor

$\displaystyle L=\frac{L_0}{v_0}U-\frac{L_0}{v_0}u=\frac{L_0}{v_0}(U-u).$

Az impulzus- és az energiamegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle mv=mu+MU,\qquad\text{illetve}\qquad\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mu^2+\frac{1}{2}MU^2.$

Ez a két összefüggés egyértelműen meghatározza az ütközés utáni sebességeket:

$\displaystyle u=\frac{m-M}{m+M}v,\qquad U=\frac{2m}{m+M}v,$

tehát

$\displaystyle U-u=\frac{2m}{m+M}v-\frac{m-M}{m+M}v=v,$

és a keresett távolság:

$\displaystyle L=\frac{v}{v_0}L_0.$

Érdekes, hogy ez a távolság a karikák méretétől (tömegétől) függetlenül minden esetben ugyanakkora.

b) Ha az ütközés nem egyenes, a megmaradási törvények nem határozzák meg egyértelműen a karikák ütközés utáni sebességét. Ennek ellenére igaz, hogy

$\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v,$

és emiatt a karikák elmozdulásvektorai $\displaystyle \boldsymbol{R}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{U}$ és $\displaystyle \boldsymbol{r}=\frac{L_0}{v_0}\boldsymbol{u}$, a végső távolságuk pedig

$\displaystyle L=\vert\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}\vert=\vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert\,\frac{L_0}{v_0}=\frac{v}{v_0}L_0.$

Az ütközés utáni relatív sebesség nagyságáról háromféle módszerrel is belátjuk, hogy az $\displaystyle v$-vel egyezik meg.

1. módszer: Megmaradási törvények alkalmazása. Az impulzus- és az energiamegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle m\boldsymbol{v}=m\boldsymbol{u}+M\boldsymbol{U},\qquad\text{illetve}\qquad\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mu^2+\frac{1}{2}MU^2,$

vagyis

és

A (2) egyenlet négyzetét (önmagával való skaláris szorzatát) (3)-mal összevetve kapjuk, hogy

Számítsuk ki most az $\displaystyle \boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}$ vektor önmagával való skalárszorzatát, vagyis a relatív sebesség négyzetét:

$\displaystyle \left(\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\right)^2=U^2+u^2-2\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{U}.$

Felhasználva a (4), majd a (3) összefüggést, megkapjuk, hogy

$\displaystyle \left(\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\right)^2=U^2+u^2-\left(1-\frac{M}{m}\right)\,U^2=u^2+\frac{M}{m}U^2=v^2,$

tehát $\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v$.

2. módszer: Tömegközépponti rendszer előnyei. Ha két test relatív sebessége valamely vonatkoztatási rendszerben $\displaystyle \Delta\boldsymbol{v}$, akkor bármely másik, az eredetihez képest mozgó koordináta-rendszerben az egymáshoz viszonyított sebesség ugyanekkora $\displaystyle \Delta\boldsymbol{v}$. A ,,mozgó'' rendszerre való áttéréskor mindegyik sebességhez ugyanaz a vektor (a vonatkoztatási rendszerek egymáshoz viszonyított sebessége) adódik hozzá, ez tehát a sebességvektorok különbségéből kiesik. (Fizikus szaknyelven szólva: a relatív sebesség Galilei-invariáns mennyiség.)

Két test tömegközépponti (TKP) rendszerében a testek impulzusa (lendülete) $\displaystyle \boldsymbol{p}$ és $\displaystyle -\boldsymbol{p}$. A testek rugalmas ütközésekor az impulzusok a TKP-i rendszerben $\displaystyle \boldsymbol{p}'$ és $\displaystyle -\boldsymbol{p}'$-re változnak. Amennyiben az ütközés rugalmas, a $\displaystyle p^2$-tel, illetve $\displaystyle p'^2$-tel arányos mozgási energia megmaradó mennyiség, fennáll tehát $\displaystyle \vert\boldsymbol{p}\vert=\vert\boldsymbol{p}'\vert$. A testek sebessége a TKP-i rendszerben egymással ellentétes irányú. A sebességkülönbség is arányos $\displaystyle p$-vel, illetve $\displaystyle p'$-vel. Mivel az ütközésnél az impulzusok nagysága nem változik, a sebességkülönbségek nagysága is változatlan marad (2. ábra).

2. ábra

Az eredeti (laboratóriumi) rendszerben a sebességkülönbség nagysága $\displaystyle v$. A Galilei-invariancia miatt ugyanekkora kell, hogy legyen az ütközés utáni sebességkülönbség is, vagyis $\displaystyle \vert\boldsymbol{U}-\boldsymbol{u}\vert=v$.

3. módszer: Síkbeli vektorok komplex számokkal. A KöMaL 2024. évi áprilisi számában megjelent Komplex számok a fizikában I. cikk szerint bármely síkbeli $\displaystyle \boldsymbol{w}=(w_x,w_y)$ vektornak kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egy komplex szám: $\displaystyle w^*=w_x+iw_y$. (A $\displaystyle ^*$ azt jelzi, hogy komplex számról van szó, amely különbözik a $\displaystyle \boldsymbol{w}$ vektor $\displaystyle w$-vel jelölt hosszától.)

A ,,komplex vektorokkal'' kényelmesen tárgyalhatók bizonyos fizikai problémák, pl. síkban mozgó testek ütközése. Az idézett cikkben leírtak szerint (a jelöléseket a jelen esethez igazítva), ha egy $\displaystyle M$ tömegű, álló karikának egy másik, $\displaystyle m$ tömegű karika $\displaystyle w^*=v$ sebességgel nekiütközik, akkor a két test sebessége az ütközés után

$\displaystyle u^*=\left(\frac{m}{M+m}+\frac{M}{M+m}\mathrm{e}^{2i\alpha}\right)v\qquad\text{és}\qquad U^*=\frac{m}{M+m}\left(1-\mathrm{e}^{2i\alpha}\right)v,$

ahol $\displaystyle \alpha$ az ütközés ,,ferdeségére'' jellemző szög. A két test relatív sebessége

$\displaystyle u^*-U^*=\mathrm{e}^{2i\alpha}\,v,$

melynek nagysága (a komplex szám abszolút értéke):

$\displaystyle \vert\boldsymbol{u}-\boldsymbol{U}\vert=\vert u^*-U^*\vert=\left|\mathrm{e}^{2i\alpha}\right|v=v.$

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Tamás, Sütő Áron.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi fizika feladatai