A P. 5582. feladat (2024. szeptember)

P. 5582. A Cassini-űrszonda adatainak feldolgozásával látványos videó (https://www.flickr.com/photos/kevinmgill/44583965185/) készült, amelyen az látható, hogy a Jupiter Europa holdja ,,lehagyja'' az Io nevű holdat. Ez látszólag ellentmond a Kepler-törvényeknek, hiszen a Jupiterhez közelebb lévő Io keringési sebessége nagyobb, mint a távolabbi Europa holdé. A paradoxon feloldása: a Cassini-szonda is mozgott, amikor a felvétel készült. Legfeljebb milyen messze lehet a Jupitertől egy, a bolygó körül keringő űrszonda, és milyen irányba kering, hogy egy ilyen furcsa ,,szerepcsere'' létrejöjjön? Tekintsük úgy, hogy a holdak és az űrszonda közel azonos síkban, körpályákon keringenek.

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Belátjuk, hogy a leírt jelenség csak akkor jöhet létre, ha az űrszonda a holdakkal ellentétes irányba kering a Jupiter körül.

Megjegyzés. A Cassini űrszonda ténylegesen nem keringett a Jupiter körül, hanem elhaladt az óriásbolygó mellett, és annak gravitációs lendítését (is) kihasználva jutott el a Szaturnusz közelébe. Emiatt szerepel a feladat szövegében ,,egy, a bolygó körül keringő űrszonda'', ami tehát nem a Cassini.

Jelöljük az Io keringési sugarát (a Jupiter középpontjától mért átlagos távolságot) $\displaystyle r_1$-gyel, az Europa pályasugarát $\displaystyle r_2$-vel, az űrszondáét pedig $\displaystyle R$-rel. A megfelelő keringési sebességek legyenek $\displaystyle v_1,\,v_2$ és $\displaystyle V$.

Az ábráról leolvasható, hogy a 2-es jelzésű Europa akkor tudja – látszólag – megelőzni az 1-es jelzésű Io holdat, ha egy kicsiny $\displaystyle t$ idő alatt teljesül, hogy

Használjuk még ki, hogy Kepler III. törvénye szerint

$\displaystyle T^2\sim \frac{r^2}{v^2}\sim r^3,\qquad \text{vagyis}\qquad v \sim \frac{1}{\sqrt{r}}.$

Eszerint (1) így is felírható:

$\displaystyle \frac{\frac{1}{\sqrt{r_2}}+\frac{1}{\sqrt{R}}}{R-r_2}>\frac{\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{R}}}{R-r_1},$

azaz

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{Rr_2}\left(\sqrt{R}-\sqrt{r_2}\right)}>\frac{1}{\sqrt{Rr_1}\left(\sqrt{R}-\sqrt{r_1}\right)},$

tehát

$\displaystyle \sqrt{r_1}\left(\sqrt{R}-\sqrt{r_1}\right)>\sqrt{r_2}\left(\sqrt{R}-\sqrt{r_2}\right),$

és így

$\displaystyle \sqrt{R}<\frac{r_2-r_1}{\sqrt{r_2}-\sqrt{r_1}}=\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2},$

azaz

Megjegyzés. Ha az űrszonda a holdakkal megegyező irányba kering, akkor (1)-ben $\displaystyle V$ előjele negatívra változik, és a fentiekkel megegyező lépések után (2) helyett a

feltételt kapjuk. Ez azonban semekkora $\displaystyle R$-re nem teljesül, hiszen $\displaystyle r_1<r_2$ miatt a bal oldal negatív, a jobb oldal pedig pozitív.

Táblázati adatok szerint $\displaystyle r_1=421{,}8\cdot 10^3\,\mathrm{km}$ és $\displaystyle r_2=671{,}8\cdot 10^3\,\mathrm{km}$, innen (3)-ból kapjuk: az űrszonda pályasugara legfeljebb 2,16 millió km lehet.

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bélteki Teó, Kovács Tamás, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Horvath Benedek.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi fizika feladatai