 |
A P. 5583. feladat (2024. szeptember) |
P. 5583. Az ábrán látható \(\displaystyle 3m\) tömegű és \(\displaystyle 3L\) hosszúságú vékony, homogén tömegeloszlású rúd az egyik végétől \(\displaystyle L\) távolságra lévő vízszintes tengely körül függőleges síkban súrlódásmentesen foroghat. A rudat a másik végéhez csatlakozó függőleges fonál segítségével vízszintesen tartjuk.
\(\displaystyle a)\) Mekkora erőt fejt ki a fonál és a tengely a rúdra ebben az egyensúlyi állapotban?
\(\displaystyle b)\) A fonál elvágását követően mekkora lesz a rúd alsó végpontjának sebessége akkor, amikor a rúd a függőleges egyenesen halad át?
\(\displaystyle c)\) Mekkora ebben a pillanatban a tengely által kifejtett erő?
Közli: Veres Dénes, Szolnok
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Az erőegyensúly és forgatónyomaték-egyensúly (a tengelyre vonatkoztatva):
$$\begin{gather*} F_\mathrm{t}+F_\mathrm{f}=3mg,\\ 3mg\frac{L}{2}=F_\mathrm{f}\cdot2L, \end{gather*}$$amiből a tengely és a fonál által kifejtett (függőlegesen felfelé mutató) erő
\(\displaystyle F_\mathrm{t}=\frac{9}{4}mg,\qquad\textrm{illetve}\qquad F_\mathrm{f}=\frac{3}{4}mg.\)
b) A mechanikai energia megmaradása alapján
\(\displaystyle 3mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}\Theta\omega^2,\)
ahol
\(\displaystyle \Theta=\Theta_0+3m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{12}\cdot 3m\left(3L\right)^2+3m\left(\frac{L}{2}\right)^2=3mL^2.\)
Ebből a rúd szögsebessége
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{L}},\)
a végpont sebessége pedig
\(\displaystyle v=2L\omega=2\sqrt{Lg}.\)
c) A legalsó helyzetben a függőleges erők eredője gyorsítja a tömegközéppontot a tengely felé:
\(\displaystyle F_\mathrm{t}'-3mg=3m\omega^2\frac{L}{2},\)
amiből a tengely által (függőlegesen felfelé) kifejtett erő:
\(\displaystyle F_\mathrm{t}'=3m\omega^2\frac{L}{2}+3mg=\frac{9}{2}mg.\)
Statisztika:
79 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Agócs Zoltán, Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Bús László Teodor, Csiszár András, Fekete Lúcia, Horvath Benedek, Kis Boglárka 08, Kovács Tamás, Misik Balázs, Monok Péter, Rózsa Laura Enikő , Szabó Márton, Szécsi Bence, Ujpál Bálint, Varga 511 Vivien, Vincze Anna. 3 pontot kapott: Domján Noémi Dóra, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2024. szeptemberi fizika feladatai