A P. 5588. feladat (2024. szeptember)

P. 5588. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, vékony, \(\displaystyle +Q\) töltéssel egyenletesen töltött szigetelőgyűrű vízszintes síkban helyezkedik el. A rögzített gyűrű átmérője mentén (pl. egy kifeszített horgászzsinóron) egy \(\displaystyle +q\) töltésű, \(\displaystyle m\) tömegű pontszerű test mozoghat súrlódásmentesen. A pontszerű testet egyensúlyi helyzetéből kicsit kitérítjük. Mekkora a bekövetkező kis rezgések periódusideje?

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. október 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Határozzuk meg, hogy milyen elektromos mezőt hoz létre önmagában a töltött szigetelő gyűrű a középpontjának kicsiny környezetében. Ha azt kapjuk, hogy a gyűrű átmérője mentén az elektromos térerősség (jó közelítéssel) arányos a középponttól mért távolsággal, akkor már könnyen megadhatjuk a pontszerű, töltött test periodikus mozgásának rezgésidejét.

Válasszunk egy olyan koordináta-rendszert, amelynek origója a gyűrű középpontja, \(\displaystyle z\) tengelye pedig a gyűrű síkjára merőleges szimmetriatengely. Ezen a tengelyen az origótól \(\displaystyle z_0\ll R\) távol lévő pontban a hengerszimmetria miatt az elektromos térerősség nyilván \(\displaystyle z\) irányú, nagysága pedig jó közelítéssel

\(\displaystyle E_z(z_0)=k\frac{Q}{R^3}\,z_0.\)

Ezt úgy láthatjuk be, hogy felosztjuk a gyűrűt sok kicsi, egyenként \(\displaystyle \Delta Q\) töltésű darabkára (1. ábra), és ezek elektromos térerősségvektorait összegezzük.

1. ábra

Az egyes darabok járuléka az elektromos mezőhöz \(\displaystyle \vert{\Delta\boldsymbol E}\vert=k\frac{\Delta Q}{R^2+z_0^2}\) nagyságú, a térerősségvektor \(\displaystyle z\) tengely irányú komponense pedig \(\displaystyle \vert{\Delta\boldsymbol E}\vert\)-nek \(\displaystyle \sin\alpha=z_0/\sqrt{R^2+z_0^2}\)-szerese:

\(\displaystyle \Delta E_z(z_0)=k\frac{\Delta Q}{\left(R^2+z_0^2\right)^{3/2}}z_0\approx k\frac{\Delta Q}{R^3}z_0.\)

(A nevezőben \(\displaystyle z_0^2\)-t elhanyagoltuk \(\displaystyle R^2\) mellett, hiszen \(\displaystyle z_0\ll R\). A képlet végén szereplő \(\displaystyle z_0\) mennyiséget természetesen nem hanyagolhatjuk el, mert nincs mellette egy másik távolság, amihez képest nagyon kicsi lenne.)

A teljes gyűrű (\(\displaystyle z\) irányú) elektromos terének (előjeles) nagysága, vagyis a \(\displaystyle z\) komponense:

\(\displaystyle E_z(z_0)=\sum k\frac{\Delta Q}{R^3}z_0=k\frac{z_0}{R^3}\sum\Delta Q=k\frac{Q}{R^3}z_0.\)

Helyezzünk el – gondolatban – a gyűrű középpontjánál egy kicsiny hengert, amelynek alapköre \(\displaystyle r_0\) sugarú, a magassága \(\displaystyle 2z_0\), és a szimmetriatengelye a \(\displaystyle z\) tengely (2. ábra). A hengerben nincsenek töltések, így – a Gauss-féle fluxustörvény szerint – a teljes felületén áthaladó \(\displaystyle \Psi\) elektromos fluxus nulla.

2. ábra

A henger két körlapján összesen

\(\displaystyle \Psi_1=2E_z(z_0)\cdot r_0^2\pi\)

fluxus távozik a hengerből. (Ez a megállapítás csak közelítőleg igaz, hiszen a körlapok mentén a térerősség \(\displaystyle z\) komponensét ugyanakkorának veszi, mint amennyi az a szimmetriatengelyen, holott \(\displaystyle E_z\) \(\displaystyle z_0\)-n kívül nyilván a tengelytől mért \(\displaystyle r\) távolságtól is függhet. Ezt a függést azonban \(\displaystyle r\le r_0\ll R\) miatt elhanyagolhatjuk, mert a fluxushoz csak \(\displaystyle z_0\) vagy \(\displaystyle r_0\) szorzatával (esetleg magasabb hatványaikkal) arányos, tehát nagyon kicsiny járulékot ad.)

A henger palástján keresztül kilépő fluxus

\(\displaystyle \Psi_2=E_r(r_0)\cdot 2\pi r_0\cdot 2z_0.\)

(Ez az összefüggés is tartalmaz közelítést, mert elhanyagolja, hogy \(\displaystyle E_r(r)\) nemcsak \(\displaystyle r_0\)-tól, hanem \(\displaystyle z\)-től is függhet. Ez a függés azonban \(\displaystyle z_0\ll R\) miatt ugyancsak ,,másodrendűen kicsi'' korrekciót eredményez a fluxus kiszámításánál.)

A teljes elektromos fluxus \(\displaystyle \Psi_1+\Psi_2=0\), vagyis

\(\displaystyle 2k\frac{Q}{R^3}z_0\cdot r_0^2\pi+E_r(r_0)\cdot 2\pi r_0\cdot 2z_0=0.\)

Innen leolvasható, hogy

\(\displaystyle E_r(r_0)=-k\frac{Q}{2R^3}\,r_0.\)

Ennek megfelelően a horgászzsinóron csúszkáló, \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű testre ható erő az origótól \(\displaystyle r\) távolságban

\(\displaystyle F(r)=-k\frac{qQ}{2R^3}\,r\equiv -D\cdot r.\)

(A negatív előjel arra utal, hogy az erő az egyensúlyi helyzet felé mutató vektor, tehát \(\displaystyle r=0\) stabil egyensúlyi helyzet.)

A fenti erőtörvény éppen olyan, mint egy \(\displaystyle D\) direkciós erejű rugónál, a kialakuló mozgás periódusideje tehát

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{2mR^3}{kqQ}}.\)

Megjegyzés. Az alkalmazott közelítések alapja az, hogy az elrendezés a \(\displaystyle z\) tengelyre nézve forgásszimmetrikus, a gyűrű síkjára nézve pedig tükörszimmetrikus. Tekintsük pl. a térerősséget egy a szimmetriasíktól \(\displaystyle z\), a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságra levő pontban! A gyűrű síkjára való tükrözéskor a radiális komponens nem változhat, tehát \(\displaystyle z\)-nek csak páros hatványitól függhet, míg a síkra merőleges komponensnek előjelet kell váltania, tehát \(\displaystyle z\) páratlan függvénye. Ennek megfelelően egy a \(\displaystyle z\) tengellyel párhuzamos egyenes mentén a radiális komponensnek szélsőértéke (maximuma) van a gyűrű síkjában, és ettől távolodva az értéke csak \(\displaystyle z\) négyzetével vagy annál lassabban változhat. Mivel bármely sík, ami a forgástengelyt tartalmazza, maga tükörsík, gondolatmenetünket egy ilyen síkra megismételve azt találjuk, hogy a térerősség \(\displaystyle z\) irányú komponense a \(\displaystyle z\) tengelytől mért \(\displaystyle r\) távolság páros függvénye lehet csak, így a tengely közelében csak lassan, legfeljebb \(\displaystyle r^2\)-tel arányosan változhat.

Összefoglalva: Az elektromos térerősség hengerkoordináta-rendszerbeli komponensei az origó közelében így írhatók fel:

\(\displaystyle E_r(r,z)=a_1r+a_2rz^2+\cdots\approx a_1r,\)

\(\displaystyle E_z(r,z)=b_1z+b_2zr^2+\cdots\approx b_1z.\)

Látható, hogy abban a közelítésben, hogy \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle z\) 1-nél magasabb kitevőjű hatványai elhanyagoljuk, \(\displaystyle E_z\) nem függ \(\displaystyle r\)-től és arányos \(\displaystyle z\)-vel, \(\displaystyle E_r\) pedig \(\displaystyle z\)-től független és \(\displaystyle r\)-rel arányos.

II. megoldás. Az \(\displaystyle E_r(r)\) térerősséget, kicsit több munka árán, direkt módon is kiszámíthatjuk. Osszuk fel a gyűrűt \(\displaystyle R\Delta\varphi\) hosszúságú kicsiny ívekre, és számoljuk ki ezen darabok járulékát a gyűrű síkjában fekvő, a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságra levő \(\displaystyle P\) pontban! (A jelöléseket a 3. ábra mutatja.)

3. ábra

A bejelölt \(\displaystyle R\Delta\varphi\) hosszúságú szakasz \(\displaystyle \Delta Q=\Delta\varphi(Q/2\pi)\) töltése által létrehozott térerősség \(\displaystyle OP\) irányú komponensének a nagysága a \(\displaystyle P\) pontban

\(\displaystyle \Delta E_r=\Delta E\cos\vartheta=-k\frac{\Delta Q}{d^2}\cos\vartheta.\)

(A járulék erre merőleges komponensével nem kell számolnunk, mert az az összegzés során a szimmetria miatt kiesik.) A koszinusztétel segítségével

\(\displaystyle d=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos\varphi}\qquad\textrm{és}\qquad\cos\vartheta=\frac{R\cos\varphi-r}{d}=\frac{R\cos\varphi-r}{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos\varphi}},\)

így

\(\displaystyle \Delta E_r=-k\Delta Q\frac{R\cos\varphi-r}{\left(\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos\varphi}\right)^3},\)

ami \(\displaystyle R\) kiemelése után

\(\displaystyle \Delta E_r=-\frac{k\Delta Q}{R^2}\frac{\cos\varphi-(r/R)}{\left(\sqrt{1+(r/R)^2-2(r/R)\cos\varphi}\right)^3}.\)

alakú. Feltételezésünk szerint \(\displaystyle r\ll R\), így alkalmazhatjuk az \(\displaystyle \vert x\vert\ll 1\) értékekre érvényes \(\displaystyle (1+x)^{-n/m}\approx (1-nx/m)\) közelítést, és az \(\displaystyle (r/R)^2\)-tel arányos tagokat az egy nagyságrendű tagok mellett elhanyagolhatjuk. Így a

\(\displaystyle \Delta E_r=-\frac{k\Delta Q}{R^2}\left(\cos\varphi+\frac{r}{R}\left(3\cos^2\varphi-1\right)\right)=-\frac{k\Delta Q}{R^2}\left(\cos\varphi+\frac{r}{R}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos(2\varphi)\right)\right)\)

kifejezésre jutunk. Ezt és \(\displaystyle \Delta Q\) értékét felhasználva

\(\displaystyle E_r(r)=-\frac{kQ}{R^2}\frac{1}{2\pi}\sum\left(\cos\varphi+\frac{r}{R}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos(2\varphi)\right)\right)\Delta\varphi.\)

Mivel a teljes \(\displaystyle 0\le\varphi\le2\pi\) tartományra nézve mind \(\displaystyle \sum\cos\varphi\Delta\varphi\), mind pedig \(\displaystyle \sum\cos(2\varphi)\Delta\varphi\) nulla, viszont \(\displaystyle \sum\Delta\varphi=2\pi\),

\(\displaystyle E_r(r)=-\frac{kQ}{2R^3}r.\)

A horgászzsinóron csúszkáló pontszerű testre ható erő az origótól \(\displaystyle r\) távolságban

\(\displaystyle F(r)=-k\frac{qQ}{2R^3}\,r\equiv -D\cdot r.\)

A kialakuló mozgás harmonikus rezgőmozgás, amelynek rezgésideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{2mR^3}{kqQ}}.\)

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Bencz Benedek, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás.
5 pontot kapott:	Csiszár András.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi fizika feladatai