A P. 5590. feladat (2024. október)

P. 5590. Egy pingponglabdát szeretnénk egy motorral egyenletes pattogásra bírni a következő módon: a dugattyút függőleges tengely mentén mozgatjuk 3 cm-es amplitúdóval, a labda pedig mindig az egyensúlyi helyzetben találja el a dugattyút periódusonként egyszer. Mekkora legyen a motor frekvenciája, hogy létrejöjjön a folyamat? Az ütközési szám $\displaystyle k=0{,}8$.

Közli: Szentivánszki Soma, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a keresett frekvenciát $\displaystyle f$-fel! Ekkor a pingponglabda pattogásának a periódusideje $\displaystyle T=1/f$, és definíció szerint a dugattyú mozgásának körfrekvenciája $\displaystyle \omega=2\pi f$. Ahhoz, hogy a pingponglabda pont $\displaystyle T$ idő alatt essen vissza, (a nehézségi gyorsulást szokásosan $\displaystyle g$-vel jelölve)

$\displaystyle v=\frac{gT}{2}$

sebességgel kell indulnia fölfelé. A légellenállást elhanyagolva a visszaérkezés sebessége ugyancsak $\displaystyle v$. A dugattyú felváltva $\displaystyle +V$ és $\displaystyle -V$ sebességgel halad át az egyensúlyi helyzeten. Ha a rezgés amplitúdója $\displaystyle A$, akkor

$\displaystyle V=A\omega.$

Fennmaradó pattogás akkor alakulhat ki, ha a pingponglabda mindig a felfelé haladó dugattyúval ütközik. Becsapódáskor a labda sebessége a dugattyúhoz viszonyítva

$\displaystyle u_1=v+V,$

az ütközés után pedig, ugyancsak a dugattyúhoz viszonyítva

$\displaystyle u_2=ku_1=k(v+V).$

Periodikusan ismétlődő mozgás esetén a nyugvó koordináta rendszerben a visszapattanó labda sebessége éppen $\displaystyle v$, azaz

$\displaystyle u_2+V=v.$

Ez $\displaystyle v$ és $\displaystyle V$ viszonyára a

$\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{1-k}{1+k}$

arányt adja, ami az első két egyenletből kapható

$\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{2A\omega}{gT}=\frac{4\pi Af^2}{g}$

hányadossal összevetve az

$\displaystyle f=\sqrt{\frac{1-k}{1+k}\cdot\frac{g}{4\pi A}}$

kifejezésre vezet. Adatainkat behelyettesítve $\displaystyle f=1{,}72\,\mathrm{Hz}$.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Erdélyi Dominik, Klement Tamás, Kovács Tamás, Papp Emese Petra, Sipos Márton, Tóth Hanga Katalin.
3 pontot kapott:	Bense Tamás, Erős Fanni, Földi Albert, Simon János Dániel.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai