 |
A P. 5590. feladat (2024. október) |
P. 5590. Egy pingponglabdát szeretnénk egy motorral egyenletes pattogásra bírni a következő módon: a dugattyút függőleges tengely mentén mozgatjuk 3 cm-es amplitúdóval, a labda pedig mindig az egyensúlyi helyzetben találja el a dugattyút periódusonként egyszer. Mekkora legyen a motor frekvenciája, hogy létrejöjjön a folyamat? Az ütközési szám \(\displaystyle k=0{,}8\).
Közli: Szentivánszki Soma, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a keresett frekvenciát \(\displaystyle f\)-fel! Ekkor a pingponglabda pattogásának a periódusideje \(\displaystyle T=1/f\), és definíció szerint a dugattyú mozgásának körfrekvenciája \(\displaystyle \omega=2\pi f\). Ahhoz, hogy a pingponglabda pont \(\displaystyle T\) idő alatt essen vissza, (a nehézségi gyorsulást szokásosan \(\displaystyle g\)-vel jelölve)
\(\displaystyle v=\frac{gT}{2}\)
sebességgel kell indulnia fölfelé. A légellenállást elhanyagolva a visszaérkezés sebessége ugyancsak \(\displaystyle v\). A dugattyú felváltva \(\displaystyle +V\) és \(\displaystyle -V\) sebességgel halad át az egyensúlyi helyzeten. Ha a rezgés amplitúdója \(\displaystyle A\), akkor
\(\displaystyle V=A\omega.\)
Fennmaradó pattogás akkor alakulhat ki, ha a pingponglabda mindig a felfelé haladó dugattyúval ütközik. Becsapódáskor a labda sebessége a dugattyúhoz viszonyítva
\(\displaystyle u_1=v+V,\)
az ütközés után pedig, ugyancsak a dugattyúhoz viszonyítva
\(\displaystyle u_2=ku_1=k(v+V).\)
Periodikusan ismétlődő mozgás esetén a nyugvó koordináta rendszerben a visszapattanó labda sebessége éppen \(\displaystyle v\), azaz
\(\displaystyle u_2+V=v.\)
Ez \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle V\) viszonyára a
\(\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{1-k}{1+k}\)
arányt adja, ami az első két egyenletből kapható
\(\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{2A\omega}{gT}=\frac{4\pi Af^2}{g}\)
hányadossal összevetve az
\(\displaystyle f=\sqrt{\frac{1-k}{1+k}\cdot\frac{g}{4\pi A}}\)
kifejezésre vezet. Adatainkat behelyettesítve \(\displaystyle f=1{,}72\,\mathrm{Hz}\).
Statisztika:
A P. 5590. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai