A P. 5591. feladat (2024. október)

P. 5591. Három különböző fizikai ingát készítünk.

\(\displaystyle a)\) Egy \(\displaystyle R\) sugarú körré hajlított, homogén tömegeloszlású, vékony rudat az egyik pontjánál egy ékkel belülről alátámasztunk. A kör alakú rúd szabadon elfordulhat az ék körül a saját síkjában.

\(\displaystyle b)\) Egy ugyanilyen sugárban meghajlított rúdból félkört vágunk ki, és azt a hosszának felénél támasztjuk alá.

\(\displaystyle c)\) Az előző esethez hasonlóan járunk el, de csak egy viszonylag rövid, nyolcadkör alakú körívet helyezünk a közepénél az ékre.

Mindhárom ingát kicsit kitérítjük, és megmérjük a lengéseik periódusidejét. Vajon melyik lengésidő lesz a leghosszabb, és melyik a legrövidebb?

Közli: Cserti József, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a kör középpontját \(\displaystyle O\)-val, a belőle kivágott ív tömegét \(\displaystyle m\)-mel, az \(\displaystyle S\) tömegközéppont és a \(\displaystyle P\) alátámasztási pont távolságát pedig \(\displaystyle s\)-sel. (\(\displaystyle s\) függ a körív ,,nyílásszögétől''.) A fizikai inga lengésidő-képlete szerint

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\Theta_P}{mgs}},\)

ahol \(\displaystyle \Theta_P\) a körívnek a \(\displaystyle P\) pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka.

Számítsuk ki \(\displaystyle \Theta_P\)-t a Steiner-tétel felhasználásával! Nyilván \(\displaystyle \Theta_O=mR^2\), hiszen az ív minden pontja \(\displaystyle R\) távol van a kör középpontjától. Alkalmazzuk a Steiner-tételt a \(\displaystyle P\) pontra és az \(\displaystyle O\) pontra:

\(\displaystyle \Theta_P=\Theta_S+ms^2,\)

\(\displaystyle \Theta_O=\Theta_S+m(R-s)^2.\)

A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle \Theta_S\) kiesik:

\(\displaystyle \Theta_P-mR^2=ms^2-m(R-s)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle \Theta_P=2mRs,\)

a lengésidő tehát

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\Theta_P}{mgs}}=2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}.\)

Meglepő módon a lengésidő nem függ \(\displaystyle s\)-től, vagyis nem függ a körív nyílásszögétől. A feltett kérdésekre tehát az a válasz, hogy mindhárom alakzat lengésideje (kis kitérések esetén) ugyanakkora.

Statisztika:

A P. 5591. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai