A P. 5592. feladat (2024. október)

P. 5592. Egy elhanyagolható tömegű, nyújthatatlan kötél felfüggesztési pontjai az ábrán látható módon egymástól $\displaystyle L$ vízszintes és $\displaystyle H$ függőleges távolságra helyezkednek el. Egy hideg téli napon a $\displaystyle \varrho$ sűrűségű hó $\displaystyle d$ szélességben halmozódott fel a kötélen. A hóréteg magassága pedig zérus, illetve $\displaystyle h_\textrm{max}$ értékek között lineárisan változik a vízszintes koordináta függvényében. A kialakult egyensúlyi helyzetben a kötél érintője jobb oldali végpontjánál éppen vízszintes. Határozzuk meg a kötélben ébredő legkisebb és legnagyobb húzóerőt!

Dürer Verseny feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás első lépéseként gondoljuk végig, hogy a kötél mely keresztmetszetében lép fel a minimális, illetve maximális húzóerő! Tudjuk, hogy erő csak a kötél irányában ébredhet, ebből következik, hogy a jobb oldali végpontban fellépő húzóerő éppen vízszintes. Mivel a felhalmozódott hó tömegéből származó erőhatás függőleges irányú, és más külső erő nem hat a rendszerre, a kötélben keletkező húzóerő vízszintes komponense minden keresztmetszetben megegyezik. Az előzőekből egyértelműen következik, hogy a minimális kötélerő éppen a jobb oldali végpontban lép fel, míg a maximális érték a bal oldali végpontban keletkezik (hiszen a kötél érintőjének meredeksége, és így a függőleges irányú erőkomponens itt a legnagyobb).

A fentiek alapján rajzoljuk fel a kötélre ható erőket, ezt szemlélteti az ábra. Jelölje a kötél bal oldali végpontját $\displaystyle A$, jobb oldali végpontját pedig $\displaystyle B$! Ekkor az $\displaystyle A$ pontban fellépő húzóerő komponensei legyenek $\displaystyle K_{A,y}$ és $\displaystyle K_{A,x}$, a $\displaystyle B$ pontban keletkező húzóerőt pedig jelölje $\displaystyle K_B$. A felhalmozódott hó hatását egy, a kötél vízszintes vetülete mentén lineárisan változó erőként kezelhetjük, melynek $\displaystyle f=\tfrac{\Delta F}{\Delta x}$ ,,intenzitása'' a kötél bal oldali végpontján zérus, jobb oldalán pedig

$\displaystyle f_\mathrm{max}=\varrho gdh_\mathrm{max}.$

A továbbiakban vizsgáljuk a kötél, mint kiterjedt test egyensúlyát! Ekkor tudjuk, hogy a kötélre ható erők, valamint forgatónyomatékok eredőjének bármely pontra nézve zérusnak kell lennie. Felírva vízszintes irányban az erők eredőjére vonatkozó feltételt:

$\displaystyle K_{A,x}=K_B,$

továbbá függőleges irányban:

$\displaystyle K_{A,y}=\frac{f_\mathrm{max}L}{2}=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L}{2}.$

Írjuk fel a testre ható forgatónyomatékokat az $\displaystyle A$ pontra:

$\displaystyle K_BH=\frac{f_\mathrm{max}L}{2}\cdot\frac{2}{3}L=\frac{f_\mathrm{max}L^2}{3},$

beírva $\displaystyle f_\mathrm{max}$ kifejezését, majd $\displaystyle K_B$-re rendezve:

$\displaystyle K_B=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L^2}{3H}.$

Azaz a kötélben keletkező minimális húzóerő:

$\displaystyle K_\mathrm{min}=K_B=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L^2}{3H},$

a fellépő maximális erő pedig a Pitagorasz-tételt felhasználva:

$\displaystyle K_\mathrm{max}=\sqrt{K^2_{A,x}+K^2_{A,y}}=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L}{6H}\sqrt{9H^2+4L^2}.$

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Sütő Áron, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint.
4 pontot kapott:	Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Tamás, Tóth Hanga Katalin.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai