A P. 5592. feladat (2024. október)

P. 5592. Egy elhanyagolható tömegű, nyújthatatlan kötél felfüggesztési pontjai az ábrán látható módon egymástól \(\displaystyle L\) vízszintes és \(\displaystyle H\) függőleges távolságra helyezkednek el. Egy hideg téli napon a \(\displaystyle \varrho\) sűrűségű hó \(\displaystyle d\) szélességben halmozódott fel a kötélen. A hóréteg magassága pedig zérus, illetve \(\displaystyle h_\textrm{max}\) értékek között lineárisan változik a vízszintes koordináta függvényében. A kialakult egyensúlyi helyzetben a kötél érintője jobb oldali végpontjánál éppen vízszintes. Határozzuk meg a kötélben ébredő legkisebb és legnagyobb húzóerőt!

Dürer Verseny feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás első lépéseként gondoljuk végig, hogy a kötél mely keresztmetszetében lép fel a minimális, illetve maximális húzóerő! Tudjuk, hogy erő csak a kötél irányában ébredhet, ebből következik, hogy a jobb oldali végpontban fellépő húzóerő éppen vízszintes. Mivel a felhalmozódott hó tömegéből származó erőhatás függőleges irányú, és más külső erő nem hat a rendszerre, a kötélben keletkező húzóerő vízszintes komponense minden keresztmetszetben megegyezik. Az előzőekből egyértelműen következik, hogy a minimális kötélerő éppen a jobb oldali végpontban lép fel, míg a maximális érték a bal oldali végpontban keletkezik (hiszen a kötél érintőjének meredeksége, és így a függőleges irányú erőkomponens itt a legnagyobb).

A fentiek alapján rajzoljuk fel a kötélre ható erőket, ezt szemlélteti az ábra. Jelölje a kötél bal oldali végpontját \(\displaystyle A\), jobb oldali végpontját pedig \(\displaystyle B\)! Ekkor az \(\displaystyle A\) pontban fellépő húzóerő komponensei legyenek \(\displaystyle K_{A,y}\) és \(\displaystyle K_{A,x}\), a \(\displaystyle B\) pontban keletkező húzóerőt pedig jelölje \(\displaystyle K_B\). A felhalmozódott hó hatását egy, a kötél vízszintes vetülete mentén lineárisan változó erőként kezelhetjük, melynek \(\displaystyle f=\tfrac{\Delta F}{\Delta x}\) ,,intenzitása'' a kötél bal oldali végpontján zérus, jobb oldalán pedig

\(\displaystyle f_\mathrm{max}=\varrho gdh_\mathrm{max}.\)

A továbbiakban vizsgáljuk a kötél, mint kiterjedt test egyensúlyát! Ekkor tudjuk, hogy a kötélre ható erők, valamint forgatónyomatékok eredőjének bármely pontra nézve zérusnak kell lennie. Felírva vízszintes irányban az erők eredőjére vonatkozó feltételt:

\(\displaystyle K_{A,x}=K_B,\)

továbbá függőleges irányban:

\(\displaystyle K_{A,y}=\frac{f_\mathrm{max}L}{2}=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L}{2}.\)

Írjuk fel a testre ható forgatónyomatékokat az \(\displaystyle A\) pontra:

\(\displaystyle K_BH=\frac{f_\mathrm{max}L}{2}\cdot\frac{2}{3}L=\frac{f_\mathrm{max}L^2}{3},\)

beírva \(\displaystyle f_\mathrm{max}\) kifejezését, majd \(\displaystyle K_B\)-re rendezve:

\(\displaystyle K_B=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L^2}{3H}.\)

Azaz a kötélben keletkező minimális húzóerő:

\(\displaystyle K_\mathrm{min}=K_B=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L^2}{3H},\)

a fellépő maximális erő pedig a Pitagorasz-tételt felhasználva:

\(\displaystyle K_\mathrm{max}=\sqrt{K^2_{A,x}+K^2_{A,y}}=\frac{\varrho gdh_\mathrm{max}L}{6H}\sqrt{9H^2+4L^2}.\)

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Sütő Áron, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint.
4 pontot kapott:	Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Tamás, Tóth Hanga Katalin.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai