A P. 5595. feladat (2024. október)

P. 5595. Két, kis nyílásszögű, \(\displaystyle f\) fókusztávolságú homorú tükröt tükröző felületeikkel szemben úgy helyezünk el, hogy optikai tengelyeik egybeessenek, és egymástól való távolságuk \(\displaystyle 2f\) legyen (lásd ábra).

A közös optikai tengelyre hová helyezzük a \(\displaystyle T\), pontszerűnek tekinthető fényforrást, hogy a belőle induló fénysugarak a két tükörről való visszaverődés után a \(\displaystyle T\) ponton menjenek át?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Az első leképzésnél a tárgytávolság (a \(\displaystyle T\) pont és az egyik tükör távolsága) legyen \(\displaystyle t_1\). Ekkor az első tükröződés után keletkező kép \(\displaystyle k_1\) távolsága a leképzési törvény \(\displaystyle \left(\tfrac{1}{f}=\tfrac{1}{t}+\tfrac{1}{k}\right)\) alapján:

\(\displaystyle k_1=\frac{ft_1}{t_1-f}.\)

Az első kép távolsága a másik tükörtől (\(\displaystyle t_2\)):

\(\displaystyle t_2=2f-k_1=\frac{f(t_1-2f)}{t_1-f},\)

és ebből a \(\displaystyle k_2\) második képtávolság:

\(\displaystyle k_2=\frac{ft_2}{t_2-f}=2f-t_1.\)

Azaz a második leképzés után a kép a \(\displaystyle t_1\) távolságtól függetlenül a \(\displaystyle T\) pontra esik, a fényforrás tehát bárhol lehet.

Megjegyzés. Ha \(\displaystyle t_1>f\), akkor az első kép valódi lenne, de a másik tükör mögé esik, így a második leképzésnek egy virtuális tárgya van (1. ábra). Ha \(\displaystyle t_1<f\), akkor az első leképzésnél látszólagos kép keletkezik, ezt képezi le a második visszaverődés (2. ábra). A második leképzés után viszont mindenképp valódi képet kapunk, és a végső nagyítás minden esetben \(\displaystyle N=N_1N_2=\tfrac{k_1}{t_1}\,\tfrac{k_2}{t_2}=-1\) lesz, tehát a kép mérete megegyezik a tárgyéval, de fordított állású lesz.

1. ábra

2. ábra

\(\displaystyle t_1=f\) esetében nem keletkezik az első tükröződés után kép, a fókuszsíkból induló fénysugarak a tükörről párhuzamosan verődnek vissza, amelyeket a másik tükör ismét a fókuszsíkba gyűjt, tehát ilyenkor is teljesül, hogy a fénysugarak kétszeres visszaverődés után a \(\displaystyle T\) ponton mennek át (3. ábra).

3. ábra

(Az ábrákon a fény először a jobb oldali, aztán a bal oldali tükrön tükröződik, de ennek az elrendezés szimmetriája miatt nincs jelentősége.)

II. megoldás. Még egyszerűbben jutunk az eredményre, ha a leképzési törvény Newton-féle alakját használjuk (lásd a G. 855. gyakorlatot a 2024.  évi májusi számában és a megoldását a munkafüzetben). Ekkor a ,,fókuszontúli'' tárgy- és képtávolság \(\displaystyle x_\mathrm{t}=t-f\), illetve \(\displaystyle x_\mathrm{k}=k-f\), és ezekre teljesül az \(\displaystyle x_\mathrm{t}x_\mathrm{k}=f^2\) összefüggés. Esetünkben ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle x_\mathrm{t}\) és \(\displaystyle x_\mathrm{k}\) távolságokat a közös fókuszponttól kell mérni, és így \(\displaystyle x_\mathrm{t2}=-x_\mathrm{k1}\), amiből azonnal \(\displaystyle x_\mathrm{k2}=-x_\mathrm{t1}\) következik bármely \(\displaystyle x_\mathrm{t1}\) esetében.

Statisztika:

A P. 5595. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai