 |
A P. 5596. feladat (2024. október) |
P. 5596. Ha egy egyenletes tömegsűrűségű, gömb alakú objektum sugara kisebb egy kritikus értéknél, akkor a felszínén olyan erős a gravitáció, hogy onnan még a fény sem tud eltávolodni, tehát egy fekete lyukként viselkedik. Becsüljük meg ezt a kritikus sugarat, ha tudjuk hogy értéke csak az objektum tömegétől, a Newton-féle gravitációs állandótól és a vákuumbeli fénysebességtől függ! Becsüljük meg mekkorára kellene összenyomni egy \(\displaystyle 7{,}25~\mathrm{kg}\) tömegű bowling golyót, hogy az fekete lyukként viselkedjen!
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Alkalmazzuk a dimenzióanalízis módszerét a becsléshez! A kritikus sugár (\(\displaystyle R\)) az alábbi összefüggésből számítható ki
\(\displaystyle R=k\cdot M^\alpha\cdot G^\beta\cdot c^\gamma,\)
ahol \(\displaystyle k\) egy dimenziótlan állandó, \(\displaystyle M\) a tömeg, \(\displaystyle G\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle c\) pedig a fénysebesség. A két oldal mértékegységeinek meg kell egyeznie:
\(\displaystyle \mathrm{m = kg^\alpha \cdot\left(\frac{m^3}{kg\;s^2}\right)^\beta\cdot\left(\frac{m}{s}\right)^\gamma},\)
ahonnan az exponensek értékeire \(\displaystyle \alpha=1\), \(\displaystyle \beta=1\) és \(\displaystyle \gamma=-2\) adódnak. A \(\displaystyle k\) dimenziótlan állandót a dimenzióanalízis segítségével nem tudjuk meghatározni, így ezzel a módszerrel csak nagyságrendi becslést tudunk végezni.
A bowling golyót nagyságrendileg \(\displaystyle R\sim \frac{GM}{c^2}=5{,}4\cdot 10^{-27}\,\mathrm{m}\) sugarú gömbre kellene összenyomni ahhoz, hogy az fekete lyukként viselkedjen. A kiszámolt sugár elképzelhetetlenül kicsi, kb. a proton sugarának \(\displaystyle 10^{-11}\)-ed része.
Megjegyzés. Egzakt, az általános relativitáselméleten alapuló számolásokkal megmutatható, hogy a dimenziótlan paraméter értéke kettő. Így a \(\displaystyle 2\frac{GM}{c^2}\) képlettel adható meg a kritikus sugár, melyet Karl Schwarzschild német fizikus után Schwarzschild-sugárnak neveztek el.
Bármilyen meggondolásból, ahol csak a feladatban használt három paraméter segítségével fejezzük ki a sugarat, nagyságrendileg helyes eredményt fogunk kapni, akkor is, ha közben fizikai helytelen feltételezéseket alkalmazunk. Lássunk erre két példát: (1) A fénynek \(\displaystyle m\) tömeget feleltetünk meg, és a klasszikus gravitációs energiáját a fény \(\displaystyle mc^2\) energiájával tesszük egyenlővé. (2) A második szökési sebességet a fénysebességgel tesszük egyenlővé.
Statisztika:
A P. 5596. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai