A P. 5597. feladat (2024. október)

P. 5597. Három egyforma, $\displaystyle m$ tömegű csillag minden pillanatban egy szabályos háromszöget alkot. Egy adott időpillanatban a háromszög oldalhossza $\displaystyle L_0$, ekkor mindhárom csillag sebességének nagysága $\displaystyle v_0$, a sebességvektorok iránya pedig érinti a háromszög köré írható kört. Határozzuk meg a pulzáló ,,hármascsillag'' periódusidejét!

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Külső erő híján a rendszer tömegközéppontja, ami a szimmetria miatt egybeesik a három csillag alkotta egyenlő oldalú háromszög súlypontjával, nem gyorsul. Tekintsük ezt origónak! Egy tetszőleges pillanatban legyen a háromszög oldalának a hossza $\displaystyle L$, és nézzük meg az egyes testekre ható erőket! Egy testre csak a másik kettő vonzásának az eredője hat, ennek nagysága

$\displaystyle F=\frac{\gamma m^2\sqrt{3}}{L^2},$

és a háromszög súlypontja felé mutat. Mivel a súlypont és a csúcsok távolsága (a körülírható kör sugara) $\displaystyle R=\tfrac{L}{\sqrt{3}}$,

$\displaystyle F=-\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R^2},$

ahol

$\displaystyle M_{\rm eff}=\frac{m}{\sqrt{3}},$

és a $\displaystyle -$ előjel a vonzásra utal. Mindebből az következik, hogy a három csillag mindegyike a közös tömegközéppont körül olyan bolygómozgást végez, mintha ott egy rögzített $\displaystyle M_\textrm{eff}$ tömegű centrális égitest lenne, és csak annak a hatását érezné. (Ez természetesen csak akkor igaz, ha a testek megfelelően elhelyezkedő, azonos alakú pályákon szinkronban mozognak, de ezt – amellett, hogy a feladat meg is adja – a kezdeti feltételek szimmetriája biztosítja.)

A rendszer mozgásának a periódusideje azonos az egyes bolygók mozgásának keringési idejével, ami

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\left(\frac{R_\textrm{max}+R_\textrm{min}}{2}\right)^3}{\gamma M_\textrm{eff}}},$

a feladat tehát az $\displaystyle R$ (vagy ami azzal egyenértékű, az $\displaystyle L$) két szélsőértékének a meghatározása. A szélső helyzetekben az égitest sebessége merőleges a vezérsugárra, tehát az egyik szélsőérték (bár nem tudjuk, melyik) az $\displaystyle R_0=\tfrac{L_0}{\sqrt{3}}$-mal adott. A másik meghatározására az energia és az impulzusmomentum megmaradása kínál lehetőséget. Kétféleképpen gondolkodhatunk, vagy a teljes rendszerre írjuk fel ezeket a törvényeket, vagy egy csillagnak az elképzelt központi test körüli keringésére, de a kettő nyilván ekvivalens egyenleteket kell, hogy adjon. Itt az utóbbi utat követjük. Az egyenletek rendre:

$\displaystyle -\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R_0}+\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R}+\frac{1}{2}mv^2$

és

$\displaystyle mR_0v_0=mRv.$

Fontos, hogy a perdületre vonatkozó (a második) egyenlet ebben a formában csak a két szélső helyzetre igaz, így az egyenletrendszernek két $\displaystyle (R,v)$ gyökpárja van, az egyik az ismert $\displaystyle R_0$ és $\displaystyle v_0$, a másikat keressük. Az egyenletekből $\displaystyle v$-t kiküszöbölve a

$\displaystyle -\frac{\gamma M_\textrm{eff}}{R_0}\left(1-\frac{R_0}{R}\right)+\frac{1}{2}v_0^2\left(1-\left(\frac{R_0}{R}\right)^2\right)=0$

összefüggést kapjuk, amit megoldva az

$\displaystyle R_1=R_0\qquad\textrm{és}\qquad R_2=\frac{R_0v_0^2}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\,R_0$

értékeket kapjuk. Látható, hogy a második gyök lehet negatív, de ez fizikailag nem értelmezhető. Ilyenkor a rendszer energiája pozitív, a csillagok nem maradnak együtt, idővel végtelenül eltávolodnak egymástól. A mozgás csak akkor lehet periodikus, ha az égitestek kötött állapotban vannak, tehát az energiájuk negatív, azaz $\displaystyle R_2$ is pozitív. Hogy az $\displaystyle R_1$ és $\displaystyle R_2$ közül melyik a minimum és melyik a maximum, a feladat szempontjából nem számít, a lényeg az, hogy

$\displaystyle R_\textrm{max}+R_\textrm{min}=R_1+R_2=\frac{2\gamma M_\textrm{eff}}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\,R_0,$

amit behelyettesítve

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\left(\frac{\gamma M_\textrm{eff}}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\right)^3\frac{R_0^3}{\gamma M_\textrm{eff}}}=2\pi\sqrt{\left(\frac{\gamma m}{2\gamma m-L_0v_0^2}\right)^3\frac{L_0^3}{3\gamma m}}$

adódik.

Megjegyzés. Feladatunkban, ahogy azt említettük, a szimmetria biztosítja, hogy a három égitest a közös tömegközéppont körül mozogva végig szabályos háromszöget alkot. Ez azonban, megfelelő kezdeti feltételek mellett, különböző tömegek esetén is teljesül. Ennek részletes bemutatása megtalálható lapunk egy korábbi cikkében: A gravitációs többtestprobléma két speciális esete, KöMaL 2015. december, 558–563. oldal, http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=201736.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás.
5 pontot kapott:	Fajszi Karsa, Kiss 131 Adorján Timon, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai