A P. 5599. feladat (2024. november)

P. 5599. Egy forgási paraboloid alakú, függőleges szimmetriatengelyű, vékony fémserleget az $\displaystyle O$ csúcsánál vízszintes tartólaphoz erősítettünk. A $\displaystyle P$ pont és a síklap távolsága $\displaystyle h_0$. A serleg belsejében elhelyezett vékony csőbe, annak $\displaystyle Q$ végpontjánál egy pontszerű testet ejtettünk, amely a serleg $\displaystyle P$ pontjánál hagyja el a csövet. A $\displaystyle Q$ és a $\displaystyle P$ pont magasságkülönbsége $\displaystyle H$.

A kis test a serleg érintősíkjában fekvő, vízszintes egyenes irányában repül ki a csőből. Milyen határok között fog változni a kis testnek a lemeztől mért $\displaystyle h$ távolsága a további mozgás során? (A súrlódás mindenhol elhanyagolható.)

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A kis test $\displaystyle v_0=\sqrt{2gH}$ sebességgel hagyja el a csövet a $\displaystyle P$ pontnál. Legyen a $\displaystyle P$ pont távolsága a szimmetriatengelytől $\displaystyle r_0$, a lemeztől mért távolsága pedig $\displaystyle h_0$. Mivel a felület forgási paraboloid, fennáll, hogy

ahol $\displaystyle k$ egy állandó.

Abban a helyzetben, ahol a test $\displaystyle h$ magassága maximális vagy minimális, a függőleges irányú sebességkomponens nulla, és így a szimmetriatengely felé mutató ,,radiális'' sebesség is nulla. A test sebessége tehát ebben a pontban ,,érintő irányú''. Ha a kérdéses pontban a tengelytől mért távolság $\displaystyle r$, akkor a test magassága

A perdületmegmaradás törvénye szerint

az energiamegmaradás törvénye szerint pedig fennáll:

A (4) egyenlet

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(v_0^2-v^2\right)=g\left(h-h_0\right)$

alakját (1) (2) és (3)-ból kapható $\displaystyle v^2=v_0^2\frac{h_0}{h}$ összefüggés felhasználásával így is felírhatjuk:

$\displaystyle \frac{v_0^2}{2}\left(h-h_0\right)=\left(h-h_0\right)gh.$

Mivel a triviális $\displaystyle h=h_0$ esettől különböző megoldást keresünk, egyszerűsíthetünk $\displaystyle (h-h_0)$-lal:

$\displaystyle \frac{v_0^2}{2}=gh,$

vagyis

$\displaystyle h=\frac{v_0^2}{2g}=H.$

A kis test távolsága tehát $\displaystyle H>h_0$ esetén $\displaystyle h_0\le h\le H$ értékek között változik, $\displaystyle H<h_0$ esetben pedig $\displaystyle H\le h\le h_0$.

Megjegyzés. Ha $\displaystyle H=h_0$, akkor a test körpályán, egyenletes körmozgással kering. Ezt a mozgásegyenletből is megkaphatjuk. A serleg által kifejtett $\displaystyle \boldsymbol{N}$ nyomóerő függőleges komponense

$\displaystyle N_2=mg,$

hiszen a test függőleges irányban nem gyorsul.

Az ábrán látható hasonló derékszögű háromszögek oldalaránya megegyezik:

$\displaystyle \frac{N_1}{N_2}=\frac{2h_0}{r_0},$

vagyis

$\displaystyle N_1=\frac{2h_0}{r_0}mg.$

Ez az erő akkor tud létrehozni $\displaystyle r_0$ sugarú körpályán egyenletes, $\displaystyle v_0$ sebességű körmozgást, ha

$\displaystyle \frac{mv_0^2}{r_0}=mg\frac{2h_0}{r_0},$

vagyis

$\displaystyle v_0^2=2gh_0=2gH,$

azaz $\displaystyle H=h_0$.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csiszár András, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Molnár Lili, Molnár Zétény, Tóthpál-Demeter Márk, Ujvári Sarolta.
4 pontot kapott:	Agócs Zoltán, Kis Boglárka 08.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai