 |
A P. 5599. feladat (2024. november) |
P. 5599. Egy forgási paraboloid alakú, függőleges szimmetriatengelyű, vékony fémserleget az \(\displaystyle O\) csúcsánál vízszintes tartólaphoz erősítettünk. A \(\displaystyle P\) pont és a síklap távolsága \(\displaystyle h_0\). A serleg belsejében elhelyezett vékony csőbe, annak \(\displaystyle Q\) végpontjánál egy pontszerű testet ejtettünk, amely a serleg \(\displaystyle P\) pontjánál hagyja el a csövet. A \(\displaystyle Q\) és a \(\displaystyle P\) pont magasságkülönbsége \(\displaystyle H\).
A kis test a serleg érintősíkjában fekvő, vízszintes egyenes irányában repül ki a csőből. Milyen határok között fog változni a kis testnek a lemeztől mért \(\displaystyle h\) távolsága a további mozgás során? (A súrlódás mindenhol elhanyagolható.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A kis test \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gH}\) sebességgel hagyja el a csövet a \(\displaystyle P\) pontnál. Legyen a \(\displaystyle P\) pont távolsága a szimmetriatengelytől \(\displaystyle r_0\), a lemeztől mért távolsága pedig \(\displaystyle h_0\). Mivel a felület forgási paraboloid, fennáll, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle h_0=kr_0^2,\) |
ahol \(\displaystyle k\) egy állandó.
Abban a helyzetben, ahol a test \(\displaystyle h\) magassága maximális vagy minimális, a függőleges irányú sebességkomponens nulla, és így a szimmetriatengely felé mutató ,,radiális'' sebesség is nulla. A test sebessége tehát ebben a pontban ,,érintő irányú''. Ha a kérdéses pontban a tengelytől mért távolság \(\displaystyle r\), akkor a test magassága
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle h=kr^2.\) |
A perdületmegmaradás törvénye szerint
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle mr_0v_0=mrv,\) |
az energiamegmaradás törvénye szerint pedig fennáll:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+mgh_0=\frac{1}{2}mv^2+mgh.\) |
A (4) egyenlet
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left(v_0^2-v^2\right)=g\left(h-h_0\right)\)
alakját (1) (2) és (3)-ból kapható \(\displaystyle v^2=v_0^2\frac{h_0}{h}\) összefüggés felhasználásával így is felírhatjuk:
\(\displaystyle \frac{v_0^2}{2}\left(h-h_0\right)=\left(h-h_0\right)gh.\)
Mivel a triviális \(\displaystyle h=h_0\) esettől különböző megoldást keresünk, egyszerűsíthetünk \(\displaystyle (h-h_0)\)-lal:
\(\displaystyle \frac{v_0^2}{2}=gh,\)
vagyis
\(\displaystyle h=\frac{v_0^2}{2g}=H.\)
A kis test távolsága tehát \(\displaystyle H>h_0\) esetén \(\displaystyle h_0\le h\le H\) értékek között változik, \(\displaystyle H<h_0\) esetben pedig \(\displaystyle H\le h\le h_0\).
Megjegyzés. Ha \(\displaystyle H=h_0\), akkor a test körpályán, egyenletes körmozgással kering. Ezt a mozgásegyenletből is megkaphatjuk. A serleg által kifejtett \(\displaystyle \boldsymbol{N}\) nyomóerő függőleges komponense
\(\displaystyle N_2=mg,\)
hiszen a test függőleges irányban nem gyorsul.
Az ábrán látható hasonló derékszögű háromszögek oldalaránya megegyezik:
\(\displaystyle \frac{N_1}{N_2}=\frac{2h_0}{r_0},\)
vagyis
\(\displaystyle N_1=\frac{2h_0}{r_0}mg.\)
Ez az erő akkor tud létrehozni \(\displaystyle r_0\) sugarú körpályán egyenletes, \(\displaystyle v_0\) sebességű körmozgást, ha
\(\displaystyle \frac{mv_0^2}{r_0}=mg\frac{2h_0}{r_0},\)
vagyis
\(\displaystyle v_0^2=2gh_0=2gH,\)
azaz \(\displaystyle H=h_0\).
Statisztika:
A P. 5599. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai