 |
A P. 5600. feladat (2024. november) |
P. 5600. A vízszintes, súrlódásmentes talajon álló létra két egyforma szára kezdetben \(\displaystyle \varphi_0\) szöget zár be a talajjal, és a köztük lévő lánc akadályozza meg a szétcsúszásukat. A létra tetején egy \(\displaystyle M\) tömegű ember ül. A lánc elszakad, a létra szétnyílik. Mekkora sebességgel és gyorsulással ér talajt az ember? Hogyan aránylik ez a két mennyiség ahhoz, amikor az ember ugyanekkora magasságból szabadon esik le? Vizsgáljuk az \(\displaystyle M\to 0\), illetve az \(\displaystyle M\to\infty\) határeseteket. Tekintsük a létra szárait egy-egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú homogén rúdnak, az embert pedig pontszerűnek. A létra két szárát felül egy súrlódásmentes csukló tartja össze.
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Jelölje \(\displaystyle F_1\) azt az erőt, amivel a talaj felfelé, és \(\displaystyle F_2\) azt, amivel az ember lefelé nyomja az egyes létraszárakat. Ezek az erők függőlegesek. A létra szárai között vízszintes erő is hat, de azzal nem kell foglalkoznunk, mert a földetéréskor nincs a létraszárakra ható forgatónyomatéka, így még közvetve sem befolyásolja az ember gyorsulást ebben a pillanatban. A geometriából világos, hogy ha az ember, azaz a létra csúcsának a sebessége és a gyorsulása rendre \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle a\), akkor a létraszárak tömegközéppontjainak a függőleges sebessége és gyorsulása \(\displaystyle v/2\) és \(\displaystyle a/2\), és a földetérés pillanatában az egyes ágak szögsebessége és szöggyorsulása \(\displaystyle \omega=v/\ell\) ill. \(\displaystyle \beta=a/\ell\).
A kérdéses sebességet legegyszerűbben az energia-egyenletből kaphatjuk meg:
\(\displaystyle \frac{1}{2}Mv^2+2\cdot\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}m\ell^2\left(\frac{v}{\ell}\right)^2=(M+m)\ell g\sin\varphi_0.\)
Ebben az egyenletben a bal oldalon az első tag az ember, a második a létraszárak tömegközépponti mozgásának, a harmadik pedig a tömegközéppont körüli forgásának a kinetikus energiája, és felhasználtuk, hogy egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú homogén rúd tömegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle (1/12)m\ell^2\). Ebből a sebesség
\(\displaystyle v=v_0\sqrt{\frac{3\left(m+M\right)}{2m+3M}},\)
ahol
\(\displaystyle v_0=\sqrt{2g\ell\sin\varphi_0}\)
a földetérés sebessége lenne a \(\displaystyle h=\ell\sin{\varphi_0}\) magasságból történő szabadesés esetén.
A keresett gyorsulás meghatározásához írjuk fel az erő és a forgatónyomaték egyenleteket (ez utóbbit a létra ágak tömegközéppontjára) a földetérés pillanatában!
$$\begin{align*} Ma&=Mg-2F_2,\\ m\frac{a}{2}&=mg+F_2-F_1,\\ \frac{1}{12}m\ell^2\left(\frac{a}{\ell}\right)&=\frac{\ell}{2}\left(F_2+F_1\right). \end{align*}$$A három egyenletből a gyorsulásra
\(\displaystyle a=g\frac{3\left(m+M\right)}{2m+3M}\)
adódik.
Az \(\displaystyle M\to\infty\) határértékben \(\displaystyle M\) mellett \(\displaystyle m\) elhanyagolható, ilyenkor \(\displaystyle v=v_0\) és \(\displaystyle a=g\), mintha a létra ott sem lenne. Ha \(\displaystyle M\to0\), akkor \(\displaystyle v=\sqrt{3/2}v_0\) és \(\displaystyle a=(3/2)g\). (Bár ilyenkor \(\displaystyle v>v_0\) és \(\displaystyle a>g\), ebben nincs ellentmondás: tulajdonképpen a létra ágak tömegközéppontja ,,esik", ennek a sebessége és a gyorsulása a földetéréskor \(\displaystyle \sqrt{3/8}v_0<v_0\) és \(\displaystyle (3/4)g<g\). Ugyanakkor, ha az ember nem kapaszkodik a létrába, akkor az esés közben valahol elválik, és szabadeséssel folytatja útját. A nagyobb sebességű és gyorsulású becsapódás csak kapaszkodás esetén jöhet létre, ha áll a létrán, akkor nem.)
Megjegyzés. A megoldásban a létraszárak mozgását felbontottuk a tömegközéppont transzlációjára és egy forgásra, de leírhattuk volna az egészet egyben, mint a földön lévő végpont (pillanatnyi forgástengely) körüli forgást. Ha így járunk el, a nehézségi erő és az \(\displaystyle F_2\) forgatónyomatékával kell számolnunk, \(\displaystyle F_1\) nem jelenik meg, és egyenesen az
\(\displaystyle \frac{1}{3}m\ell^2\left(\frac{a}{\ell}\right)=mg \frac{\ell}{2}+F_2\ell\)
egyenletet kapjuk. (Akkor egyszerű a pillanatnyi forgástengelyhez rögzített koordináta rendszert használnunk, ha az inerciarendszer, vagy ha gyorsul ugyan, de az ebből adódó tehetetlenségi erőnek nincs forgatónyomatéka a pillanatnyi forgástengelyre. Esetünkben a becsapódás pillanatában ez utóbbi feltétel teljesül.)
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Molnár Zétény, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Klement Tamás, Papp Emese Petra, Vincze Anna. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai