A P. 5601. feladat (2024. november)

P. 5601. Egy vízszintes membrán függőleges irányban, harmonikusan, \(\displaystyle 500~\mathrm{Hz}\) frekvenciával rezeg. A membránra finom homokot szórunk, és azt látjuk, hogy a homokszemcsék a levegőbe emelkednek, a membrán egyensúlyi helyzete felett \(\displaystyle 3~\mathrm{mm}\) magasságig. Mekkora a membrán rezgésének amplitúdója?

A homokszemcsék ütközését a membránon tekintsük teljesen rugalmatlannak.

Quantum Magazine nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Szorítkozzunk arra az esetre, hogy a homokszemcsék csak a membránnal ütköznek! (Nagyon valószínűtlen, hogy a különböző méretű szemcsék úgy ütközzenek egymás között, hogy valamelyik számottevően több energiára tegyen szert, mint amennyit a membrán közvetíthet neki.) Az egyes homokszemek a membránnal való ütközéskor felveszik annak a sebességét, és a membrán pillanatnyi sebességének és a gyorsulásának az irányától függ, hogy hogyan mozognak tovább. Alapvetően két eset lehetséges:

• A homokszem az ütközés után fölfelé indul el, ez olyankor van amikor az ütközéskor a membrán lassulva mozog fölfelé:

\(\displaystyle v=A\omega\cos\omega t>0,\qquad a=-A\omega^2\sin\omega t<0\quad\textrm{azaz}\quad x=A\sin\omega t>0.\)

(Itt a rezgőmozgás kitérését, sebességét és gyorsulását valamint az amplitúdót és körfrekvenciát a szokásos módon rendre \(\displaystyle x\)-szel, \(\displaystyle v\)-vel, \(\displaystyle a\)-val, \(\displaystyle A\)-val illetve \(\displaystyle \omega\)-val jelöltük.)

• Minden más esetben a homokszem egy vagy több ütközés után a membránnal együtt mozog, és akkor repül el róla, amikor az fölfelé áthalad az egyensúlyi helyzeten. Ez a fent kijelölt \(\displaystyle x\), \(\displaystyle v\), és \(\displaystyle a\) tartomány szélének felel meg.

Az adott homokszem az energia tétel szerint

\(\displaystyle h=x+\frac{v^2}{2g}=A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t\)

magasra képes felrepülni. A feladat szerint a \(\displaystyle h\) magasság maximuma adott, tehát az a kérdés, az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés maximuma mekkora amplitúdó mellett lesz a megadott érték. A jobb oldal a \(\displaystyle \sin\omega t\) négyzetes kifejezése:

\(\displaystyle A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t=-\frac{A^2\omega^2}{2g}\sin^2\omega t+A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g},\)

aminek a maximuma ott van, ahol

\(\displaystyle \sin\omega t=\frac{g}{A\omega^2}.\)

(Ezt abból közvetlenül is megkaphatjuk, hogy a homokszem ott válik el a membrántól, ahol az ,,kigyorsul'' alóla, azaz \(\displaystyle a=-A\omega^2\sin\omega t=-g\).) A maximum értéke ebből

\(\displaystyle h_{\mathrm max}=\frac{g}{2\omega^2}+\frac{A^2\omega^2}{2g},\)

ahonnan

\(\displaystyle A=\sqrt{\frac{2gh_{\mathrm max}}{\omega^2}-\frac{g^2}{\omega^4}}.\)

Ebből behelyettesítéssel \(\displaystyle A=7,8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{mm}\) adódik.

Statisztika:

A P. 5601. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai