A P. 5601. feladat (2024. november)

P. 5601. Egy vízszintes membrán függőleges irányban, harmonikusan, $\displaystyle 500~\mathrm{Hz}$ frekvenciával rezeg. A membránra finom homokot szórunk, és azt látjuk, hogy a homokszemcsék a levegőbe emelkednek, a membrán egyensúlyi helyzete felett $\displaystyle 3~\mathrm{mm}$ magasságig. Mekkora a membrán rezgésének amplitúdója?

A homokszemcsék ütközését a membránon tekintsük teljesen rugalmatlannak.

Quantum Magazine nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Szorítkozzunk arra az esetre, hogy a homokszemcsék csak a membránnal ütköznek! (Nagyon valószínűtlen, hogy a különböző méretű szemcsék úgy ütközzenek egymás között, hogy valamelyik számottevően több energiára tegyen szert, mint amennyit a membrán közvetíthet neki.) Az egyes homokszemek a membránnal való ütközéskor felveszik annak a sebességét, és a membrán pillanatnyi sebességének és a gyorsulásának az irányától függ, hogy hogyan mozognak tovább. Alapvetően két eset lehetséges:

• A homokszem az ütközés után fölfelé indul el, ez olyankor van amikor az ütközéskor a membrán lassulva ($\displaystyle -g$-nél kisebb gyorsulással) mozog fölfelé:

$\displaystyle v=A\omega\cos\omega t>0,\qquad a=-A\omega^2\sin\omega t<-g<0\quad\textrm{azaz}\quad x=A\sin\omega t>\frac{g}{\omega^2}>0.$

(Itt a rezgőmozgás kitérését, sebességét és gyorsulását valamint az amplitúdót és körfrekvenciát a szokásos módon rendre $\displaystyle x$-szel, $\displaystyle v$-vel, $\displaystyle a$-val, $\displaystyle A$-val illetve $\displaystyle \omega$-val jelöltük.)

• Minden más esetben a homokszem egy vagy több ütközés után a membránnal együtt mozog, és akkor repül el róla, amikor az fölfelé már áthaladt az egyensúlyi helyzeten, és a gyorsulás kisebbé válik $\displaystyle -g$-nél. Ez a fent kijelölt $\displaystyle x$, $\displaystyle v$, és $\displaystyle a$ tartomány szélének felel meg.

Az adott homokszem az energia tétel szerint

$\displaystyle h=x+\frac{v^2}{2g}=A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t$

magasra képes felrepülni. A feladat szerint a $\displaystyle h$ magasság maximuma adott, tehát az a kérdés, az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés maximuma mekkora amplitúdó mellett lesz a megadott érték. A jobb oldal a $\displaystyle \sin\omega t$ négyzetes kifejezése:

$\displaystyle A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t=-\frac{A^2\omega^2}{2g}\sin^2\omega t+A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g},$

aminek a maximuma ott van, ahol

$\displaystyle \sin\omega t=\frac{g}{A\omega^2}.$

(Ezt abból közvetlenül is megkaphatjuk, hogy a homokszem ott válik el a membrántól, ahol az ,,kigyorsul'' alóla, azaz $\displaystyle a=-A\omega^2\sin\omega t=-g$.) A maximum értéke ebből

$\displaystyle h_{\mathrm max}=\frac{g}{2\omega^2}+\frac{A^2\omega^2}{2g},$

ahonnan

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{2gh_{\mathrm max}}{\omega^2}-\frac{g^2}{\omega^4}}.$

Ebből behelyettesítéssel $\displaystyle A=7,8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{mm}$ adódik.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Hornok Máté, Kovács Tamás, Molnár Lili, Simon János Dániel, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta.
4 pontot kapott:	Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai