A P. 5606. feladat (2024. november)

P. 5606. Egy $\displaystyle m_0$ össztömegű űrhajó a bolygóközi térben, külső erők jelenléte nélkül halad $\displaystyle v$ sebességgel. A mozgásirány megváltoztatása céljából egyszer csak bekapcsolja hajtóművét, amelyből állandó $\displaystyle u$ nagyságú (relatív) sebességgel áramlik ki a hajtóanyag, mindvégig az űrhajó pillanatnyi sebességére merőleges irányban. Mekkorára csökken az űrhajó tömege, amíg sebességvektora az eredeti irányhoz képest $\displaystyle 90^\circ$-kal fordul el?

Példatári feladat nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A fordulási manőver közben egy tetszőleges pillanatban legyen az űrhajó és a benne lévő hajtóanyag össztömege $\displaystyle m$. Az űrhajó pillanatnyi sebességével mozgó inerciarendszerben azt látjuk, hogy mialatt kicsiny $\displaystyle |\Delta m|$ tömegű hajtóanyag $\displaystyle u$ sebességgel távozik a hajtóműből (és így eközben az űrhajó tömege $\displaystyle \Delta m<0$ értékkel megváltozik), addig az űrhajó $\displaystyle \Delta v_\perp$ sebességre tesz szert ellentétes irányban, melynek nagyságát az impulzusmegmaradásból számíthatjuk ki:

$\displaystyle m\Delta v_\perp=u|\Delta m|=-u\Delta m.$

Mivel $\displaystyle \Delta v_\perp$ merőleges az űrhajó állócsillagokhoz viszonyított pillanatnyi sebességvektorára, ezért utóbbinak csak az iránya változik, nagysága nem. Az irányváltozás szöge:

$\displaystyle \Delta\varphi\approx\frac{\Delta v_\perp}{v}=-\frac{u\Delta m}{vm}.$

A teljes $\displaystyle \pi/2$ irányváltozást a kicsiny szögelfordulások összegeként írhatjuk fel. Az összegzés a felosztás finomításával integrálba megy át:

$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\sum\Delta\varphi=\sum-\frac{u\Delta m}{vm}=\frac{u}{v}\int\limits_{m_0}^{m_\textrm{végső}}-\frac{\mathrm{d}m}{m}=\frac{u}{v}\ln\frac{m_0}{m_\textrm{végső}}.$

Ebből az űrhajó végső tömege:

$\displaystyle m_\textrm{végső}=m_0 \mathrm{e}^{-\frac{v}{u}\frac{\pi}{2}}.$

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Zoltán, Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Tóth Hanga Katalin, Zólomy Csanád Zsolt.
5 pontot kapott:	Kovács Tamás.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai