 |
A P. 5606. feladat (2024. november) |
P. 5606. Egy \(\displaystyle m_0\) össztömegű űrhajó a bolygóközi térben, külső erők jelenléte nélkül halad \(\displaystyle v\) sebességgel. A mozgásirány megváltoztatása céljából egyszer csak bekapcsolja hajtóművét, amelyből állandó \(\displaystyle u\) nagyságú (relatív) sebességgel áramlik ki a hajtóanyag, mindvégig az űrhajó pillanatnyi sebességére merőleges irányban. Mekkorára csökken az űrhajó tömege, amíg sebességvektora az eredeti irányhoz képest \(\displaystyle 90^\circ\)-kal fordul el?
Példatári feladat nyomán
(6 pont)
A beküldési határidő 2024. december 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A fordulási manőver közben egy tetszőleges pillanatban legyen az űrhajó és a benne lévő hajtóanyag össztömege \(\displaystyle m\). Az űrhajó pillanatnyi sebességével mozgó inerciarendszerben azt látjuk, hogy mialatt kicsiny \(\displaystyle |\Delta m|\) tömegű hajtóanyag \(\displaystyle u\) sebességgel távozik a hajtóműből (és így eközben az űrhajó tömege \(\displaystyle \Delta m<0\) értékkel megváltozik), addig az űrhajó \(\displaystyle \Delta v_\perp\) sebességre tesz szert ellentétes irányban, melynek nagyságát az impulzusmegmaradásból számíthatjuk ki:
\(\displaystyle m\Delta v_\perp=u|\Delta m|=-u\Delta m.\)
Mivel \(\displaystyle \Delta v_\perp\) merőleges az űrhajó állócsillagokhoz viszonyított pillanatnyi sebességvektorára, ezért utóbbinak csak az iránya változik, nagysága nem. Az irányváltozás szöge:
\(\displaystyle \Delta\varphi\approx\frac{\Delta v_\perp}{v}=-\frac{u\Delta m}{vm}.\)
A teljes \(\displaystyle \pi/2\) irányváltozást a kicsiny szögelfordulások összegeként írhatjuk fel. Az összegzés a felosztás finomításával integrálba megy át:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}=\sum\Delta\varphi=\sum-\frac{u\Delta m}{vm}=\frac{u}{v}\int\limits_{m_0}^{m_\textrm{végső}}-\frac{\mathrm{d}m}{m}=\frac{u}{v}\ln\frac{m_0}{m_\textrm{végső}}.\)
Ebből az űrhajó végső tömege:
\(\displaystyle m_\textrm{végső}=m_0 \mathrm{e}^{-\frac{v}{u}\frac{\pi}{2}}.\)
Statisztika:
A P. 5606. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi fizika feladatai