A P. 5607. feladat (2024. december)

P. 5607. Egy rögzített lejtő tetejéről vízszintesen elhajított kicsiny test éppen a lejtő aljánál csapódik be (ábra). A becsapódáskor a sebessége a lejtő síkjával \(\displaystyle {\beta=19^\circ}\)-os szöget zár be. Mekkora a lejtő hajlásszöge?

Közli: Zsigri Ferenc, (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a lejtő alapjának hosszát \(\displaystyle d\)-vel, a lejtő magassága ekkor \(\displaystyle h=d\tg\alpha\). A függőleges mozgás \(\displaystyle h\) magasságból induló szabadesés, az ideje tehát

\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d\tg\alpha}{g}}.\)

A becsapódáskor a test függőleges irányú sebessége

\(\displaystyle v_y=gt=\sqrt{2gd\tg\alpha}.\)

A test vízszintes irányban egyenletesen mozog, a sebessége

\(\displaystyle v_x=\frac{d}{t}=\sqrt{\frac{gd}{2\tg\alpha}}.\)

A becsapódáskor a test sebessége a vízszintessel \(\displaystyle \alpha+\beta\) szöget zár be, fennáll tehát

\(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}=\frac{v_y}{v_x}=2\tg\alpha.\)

A fentebbi egyenlet így is felírható:

\(\displaystyle 2\tg\beta\cdot\tg^2\alpha-\tg\alpha+\tg\beta=0,\)

ami az \(\displaystyle X\equiv\tg\alpha\) változóra nézve másodfokú egyenlet.

Tudjuk még, hogy \(\displaystyle \beta=19^\circ,\) vagyis \(\displaystyle \tg\beta=0{,}344.\) Az egyenlet két gyöke:

\(\displaystyle X_1=0{,}56\qquad\textrm{és}\qquad X_2=0{,}89,\)

amelyek a lejtő \(\displaystyle \alpha_1\approx 29^\circ\)-os és \(\displaystyle \alpha_2\approx 42^\circ\)-os hajlásszögének felelnek meg. A feladat feltételeinek ezen szögek bármelyike eleget tesz.

Statisztika:

A P. 5607. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai