 |
A P. 5608. feladat (2024. december) |
P. 5608. A vízszinteshez viszonyítva \(\displaystyle 60^\circ\)-os szögben \(\displaystyle 120~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) sebességgel kilőtt \(\displaystyle 8~\mathrm{kg}\) tömegű robbanó lövedék pályájának tetőpontján egy \(\displaystyle 3~\mathrm{kg}\) és egy \(\displaystyle 5~\mathrm{kg}\) tömegű darabra robban úgy, hogy azok egymáshoz képesti sebessége merőleges a kilőtt lövedék pályasíkjára. A robbanáskor felszabaduló \(\displaystyle 12~\mathrm{kJ}\) energia 80%-a a darabok mozgási energiájának növelésére használódik el. A kilövés helyétől
a) mekkora távolságban és
b) mekkora sebességgel ér talajt a két rész?
(A légellenállást hanyagoljuk el!)
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A könnyebb hivatkozás kedvéért jelöljünk ki egy koordináta rendszert a következők szerint: az \(\displaystyle x\) tengely legyen a talaj síkjában és mutasson a lövés irányába, az ugyancsak a talaj síkjában fekvő \(\displaystyle y\) tengely legyen erre merőleges, a \(\displaystyle z\) tengely pedig legyen függőleges. Origónak válasszuk a kilövés helyét! A kilövés pillanatában a lövedék sebesség-komponensei (\(\displaystyle v_0\)-lal jelölve a kezdősebesség nagyságát)
\(\displaystyle v_x=\frac{v_0}{2}=60\,\mathrm{m/s},\qquad v_y=0,\qquad v_z=\frac{\sqrt{3}v_0}{2}=104\,\mathrm{m/s}.\)
A pálya tetőpontján a robbanáskor a darabok \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle z\) irányú sebességének pillanatnyi értéke nem változik, de akkora \(\displaystyle y\) irányú sebességre tesznek szert, hogy a repeszek összes impulzusának változatlansága mellett, a teljes kinetikus energia a robbanás energiájának a megadott hányadával nőjön:
$$\begin{gather*} m_1v_{y{,}1}+m_2v_{y{,}2}=0,\\ \frac{1}{2}m_1v_{y{,}1}^2+\frac{1}{2}m_2v_{y{,}2}^2=E. \end{gather*}$$Itt \(\displaystyle m_1=3\,\mathrm{kg}\) és \(\displaystyle m_2=5\,\mathrm{kg}\) a két lövedékdarab tömege, \(\displaystyle v_{y{,}1}\) és \(\displaystyle v_{y{,}2}\) a két vízszintes, a felszálló pálya síkjára merőleges sebesség, \(\displaystyle E\) pedig a robbanás energiájának 80%-a, azaz \(\displaystyle 9{,}6\,\mathrm{kJ}\). Ennek az egyenletrendszernek a megoldása
\(\displaystyle v_{y{,}1}=\pm\sqrt{\frac{2Em_2}{m_1(m_1+m_2)}}\simeq\pm 63\,\mathrm{m/s},\qquad v_{y{,}2}=\mp\sqrt{\frac{2Em_1}{m_2(m_1+m_2)}}\simeq\mp 38\,\mathrm{m/s}.\)
(Itt az előjelek azt mutatják, hogy a két repesz a felszálló pálya síkjára nézve ellentétes irányban indul, de hogy melyik merre, az nyilván nincs meghatározva.)
Amíg a lövedék felfelé halad, a függőleges sebessége \(\displaystyle v_z\)-ről nullára változik, tehát az emelkedés ideje (\(\displaystyle g=9{,}81\,\mathrm{m/s}^2\) értékkel számolva)
\(\displaystyle t=\frac{v_z}{g}=10{,}6\,\mathrm{s},\)
és nyilván ugyanennyi idő telik el, amíg a darabok a pálya tetejéről a földre érnek. Mivel a lövedék illetve a repeszek \(\displaystyle x\) irányú sebessége az egész mozgás során, a két darab \(\displaystyle y\) irányú sebessége pedig a robbanás után a földetérésig változatlanul \(\displaystyle v_x\), illetve \(\displaystyle v_{y{,}1}\) és \(\displaystyle v_{y{,}2}\), a két lövedékrész a kilövéstől
\(\displaystyle s_1=\sqrt{(2tv_x )^2+(tv_{y{,}1})^2}=1440\,\mathrm{m}\qquad\textrm{és}\qquad s_2=\sqrt{(2tv_x )^2+(tv_{y{,}2})^2}=1330\,\mathrm{m}\)
távolságra csapódik a talajba.
A becsapódó részek sebessége komponensekkel megadva \(\displaystyle (v_x\,,\,v_{y{,}1}\,,\,-v_z)\), illetve \(\displaystyle (v_x\,,\,v_{y{,}2}\,,\,-v_z)\). Ezen vektorok abszolút értéke számszerűleg kifejezve \(\displaystyle v_1=136\,\mathrm{m/s}\) és \(\displaystyle v_2=126\,\mathrm{m/s}\).
Statisztika:
A P. 5608. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai