 |
A P. 5609. feladat (2024. december) |
P. 5609. Egy \(\displaystyle 330~\mathrm{ml}\)-es üdítőitalos dobozt közelítsünk homogén tömegeloszlású hengerfelülettel, melynek magassága \(\displaystyle H=14{,}6~\mathrm{cm}\), belső átmérője \(\displaystyle d=5{,}4~\mathrm{cm}\). A doboz tömege \(\displaystyle M=14~\mathrm{g}\). Mennyi vizet töltsünk a dobozba, hogy a lehető legalacsonyabban legyen a rendszer tömegközéppontja? Milyen magasan van ekkor a tömegközéppont?
Közli: Szentivánszki Soma, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Amíg a tömegközéppont a vízszint felett van, addig a dobozba vizet öntve a tömegközéppont süllyedni fog, hiszen ekkor a dobozból és a már benne lévő vízből álló rendszerhez a tömegközéppontja alatt adunk hozzá egy újabb tömeget, amely a tömegközéppontot így lejjebb viszi. Ugyanígy, ha a tömegközéppont a vízszint alatt van, akkor további víz hozzáadása a rendszer tömegközéppontját emeli. A tömegközéppont tehát akkor lesz a legmélyebben, ha éppen a víz felszínén lesz.
A doboz és a víz tömegközéppontja is a magasságuk felénél helyezkedik el. Legyen a keresett vízszint magassága \(\displaystyle h\), a víz tömege \(\displaystyle m=\varrho Ah\) (ahol \(\displaystyle A=\tfrac{d^2\pi}{4}\)). Ekkor a rendszer tömegközéppontjának magassága a tömegközéppont definíciója szerint:
\(\displaystyle h_\mathrm{tkp}=\frac{M\frac{H}{2}+m\frac{h}{2}}{M+m}=\frac{MH+mh}{2(M+m)}=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}.\)
Felhasználva, hogy az előbbi gondolatmenet alapján a keresett helyzetben \(\displaystyle h_\mathrm{tkp}=h\), adódik a
\(\displaystyle h_\mathrm{tkp}=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}=h,\)
egyenlet, amely rendezve \(\displaystyle h\)-ra másodfokú:
\(\displaystyle \varrho Ah^2+2Mh-MH=0,\)
és pozitív megoldása a keresett vízmagasság:
\(\displaystyle h=\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}}{\varrho A}=2{,}44\,\mathrm{cm}.\)
Gondolatmenetünk alapján a tömegközéppont magassága is ugyanekkora.
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseivel a tömegközéppont magassága \(\displaystyle h\) függvényében:
\(\displaystyle h_\mathrm{tkp}=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}.\)
Ennek szélsőértékét deriválással, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel vagy grafikusan határozhatjuk meg.
II/1. megoldás: deriválással.
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}h_\mathrm{tkp}}{\mathrm{d}h}=\frac{4\varrho Ah(M+\varrho Ah)-2\varrho A(MH+\varrho Ah^2)}{4(M+\varrho Ah)^2}=0,\)
amiből rendezéssel az I. megoldásban szereplővel azonos másodfokú egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle \varrho Ah^2+2Mh-MH=0,\)
melynek pozitív megoldása a keresett vízmagasság:
\(\displaystyle h=\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}}{\varrho A}=2{,}44\,\mathrm{cm}.\)
Ezt behelyettesítve a tömegközéppont magasságának kifejezésébe:
$$\begin{align*} h_\mathrm{tkp}&=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}=\\ &=\frac{MH+\varrho A\frac{M^2-2M\sqrt{M^2+MH\varrho A}+M^2+MH\varrho A}{(\varrho A)^2}}{2\left(M-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}\right)}=\\ &=\frac{MH\varrho A+M^2-2M\sqrt{M^2+MH\varrho A}+M^2+MH\varrho A}{2\varrho A\sqrt{M^2+MH\varrho A}}=\\ &=\frac{-M\sqrt{M^2+MH\varrho A}+M^2+MH\varrho A}{\varrho A\sqrt{M^2+MH\varrho A}}=\\ &=\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}}{\varrho A}=h=2{,}44\,\mathrm{cm}. \end{align*}$$Megjegyzés. A behelyettesítést numerikus adatokkal is el lehet végezni, akkor egyszerűbb.
II/2. megoldás: egyenlőtlenséggel. Alakítsuk át \(\displaystyle h_\mathrm{tkp}\) kifejezését és használjuk fel a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségét. Ebből adódik a tömegközéppont magasságának minimális értéke:
$$\begin{align*} h_\mathrm{tkp}&=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}=\\ &=\frac{1}{\varrho A}\frac{M^2+MH\varrho A+\left(\varrho Ah\right)^2-M^2}{2(\varrho Ah+M)}=\\ &=\frac{1}{\varrho A}\frac{(\varrho Ah+M)(\varrho Ah-M)+M^2+MH\varrho A}{2(\varrho Ah+M)}=\\ &=\frac{1}{\varrho A}\frac{\varrho Ah-M+\frac{M^2+MH\varrho A}{\varrho Ah+M}}{2}=\\ &=\frac{1}{\varrho A}\frac{-2M+\varrho Ah+M+\frac{M^2+MH\varrho A}{\varrho Ah+M}}{2}=\\ &=\frac{1}{\varrho A}\left(-M+\frac{(\varrho Ah+M)+\frac{M^2+MH\varrho A}{\varrho Ah+M}}{2}\right)\geq\\ &\geq\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}}{\varrho A}=2{,}44\,\mathrm{cm}. \end{align*}$$A minimális értéket akkor veszi fel \(\displaystyle h_\mathrm{tkp}\), ha
\(\displaystyle \varrho Ah+M=\frac{M^2+MH\varrho A}{\varrho Ah+M},\)
amiből \(\displaystyle h\) értéke ekkor:
\(\displaystyle h=\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\varrho A}}{\varrho A}=2{,}44\,\mathrm{cm}.\)
II/3. megoldás: grafikonnal. Helyettesítsük be a paramétereket a \(\displaystyle h_\mathrm{tkp}(h)\) függvénybe (a hosszakat cm-ben, a tömeget g-ban, a sűrűséget \(\displaystyle \mathrm{g/cm^3}\)-ben). Ekkor \(\displaystyle h_\mathrm{tkp}\) kifejezése cm-ben:
\(\displaystyle h_\mathrm{tkp}=\frac{MH+\varrho Ah^2}{2(M+\varrho Ah)}=\frac{204{,}4+22{,}90h^2}{28+45{,}80h},\)
és ábrázoljuk a függvényt:
A grafikonról leolvasható a minimum helye és értéke is.
Statisztika:
A P. 5609. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai