 |
A P. 5610. feladat (2024. december) |
P. 5610. Az Eros kisbolygó \(\displaystyle 1{,}13~\mathrm{CSE}\)-re közelíti meg a Napot, naptávolban \(\displaystyle 1{,}78~\mathrm{CSE}\)-re kerül tőle. CSE a csillagászati egység, a Nap-Föld közepes távolsága. Mekkora az Eros kisbolygó legnagyobb és legkisebb sebessége?
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat megoldásához Kepler törvényeit kell alkalmaznunk.
1. Az Eros ellipszis pályán kering, az ellipszis adatai pedig a perihélium és az aphélium (a Nap-közeli és Nap-távoli helyzet) \(\displaystyle r_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle r_\mathrm{a}\) távolságával kifejezhetők:
$$\begin{gather*} a=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}=1{,}46\,\mathrm{CSE},\\ c=\frac{r_\mathrm{a}-r_\mathrm{p}}{2}=0{,}325\,\mathrm{CSE},\\ b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}=1{,}42\,\mathrm{CSE}. \end{gather*}$$2. A kisbolygó mindig akkora sebességgel halad, hogy a területi sebesség állandó legyen. A két szélső helyzetben a sebesség pont merőleges a vezérsugárra, tehát a megfelelő \(\displaystyle v_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle v_\mathrm{a}\) sebességekre igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{r_\mathrm{p}v_\mathrm{p}}{2}=\frac{r_\mathrm{a}v_\mathrm{a}}{2}=\frac{A}{T},\)
ahol \(\displaystyle A\) a pálya ellipszisének a területe:
\(\displaystyle A=ab\pi=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}\pi,\)
és \(\displaystyle T\) az Eros keringési ideje. Ennek megfelelően
$$\begin{gather*} v_\mathrm{p}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{a}}{r_\mathrm{p}},\\ v_\mathrm{a}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{p}}{r_\mathrm{a}}. \end{gather*}$$3. A Naprendszerben az
\(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=C\)
érték minden bolygóra nézve ugyanakkora. A Föld adatai alapján \(\displaystyle C=1\,\mathrm{CSE^3}/\textrm{év}\mathrm{^2}\), amiből az Eros keringési ideje \(\displaystyle T=1{,}76\,\textrm{év}\). Az adatokat behelyettesítve (\(\displaystyle 1\,\mathrm{CSE}=1{,}496\cdot 10^8\,\mathrm{km}\) és \(\displaystyle 1\,\textrm{év}=365{,}24\cdot 24\cdot 3600=3{,}156\cdot 10^7\,\mathrm{s}\) értékkel számolva):
$$\begin{gather*} v_\mathrm{max}=v_\mathrm{p}=6{,}54\,\mathrm{CSE/év}=31{,}0\,\mathrm{km/s},\\ v_\mathrm{min}=v_\mathrm{a}=4{,}15\,\mathrm{CSE/év}=19{,}7\,\mathrm{km/s}. \end{gather*}$$Statisztika:
54 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Zoltán, Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Bor Noémi, Bús László Teodor, Csiszár András, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hornok Máté, Kis Boglárka 08, Masa Barnabás, Misik Balázs, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pázmándi József Áron, Pituk Péter, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szabó Donát, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Vértesi Janka, Wolf Erik. 4 pontot kapott: Balázs Barnabás, Bélteki Teó, Klement Tamás, Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Orbán Jázmin, Sárecz Bence, Tóth-Tűri Bence, Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai