 |
A P. 5610. feladat (2024. december) |
P. 5610. Az Eros kisbolygó \(\displaystyle 1{,}13~\mathrm{CSE}\)-re közelíti meg a Napot, naptávolban \(\displaystyle 1{,}78~\mathrm{CSE}\)-re kerül tőle. CSE a csillagászati egység, a Nap-Föld közepes távolsága. Mekkora az Eros kisbolygó legnagyobb és legkisebb sebessége?
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat megoldásához Kepler törvényeit kell alkalmaznunk.
1. Az Eros ellipszis pályán kering, az ellipszis adatai pedig a perihélium és az aphélium (a Nap-közeli és Nap-távoli helyzet) \(\displaystyle r_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle r_\mathrm{a}\) távolságával kifejezhetők:
$$\begin{gather*} a=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}=1{,}46\,\mathrm{CSE},\\ c=\frac{r_\mathrm{a}-r_\mathrm{p}}{2}=0{,}325\,\mathrm{CSE},\\ b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}=1{,}42\,\mathrm{CSE}. \end{gather*}$$2. A kisbolygó mindig akkora sebességgel halad, hogy a területi sebesség állandó legyen. A két szélső helyzetben a sebesség pont merőleges a vezérsugárra, tehát a megfelelő \(\displaystyle v_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle v_\mathrm{a}\) sebességekre igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{r_\mathrm{p}v_\mathrm{p}}{2}=\frac{r_\mathrm{a}v_\mathrm{a}}{2}=\frac{A}{T},\)
ahol \(\displaystyle A\) a pálya ellipszisének a területe:
\(\displaystyle A=ab\pi=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}\pi,\)
és \(\displaystyle T\) az Eros keringési ideje. Ennek megfelelően
$$\begin{gather*} v_\mathrm{p}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{a}}{r_\mathrm{p}},\\ v_\mathrm{a}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{p}}{r_\mathrm{a}}. \end{gather*}$$3. A Naprendszerben az
\(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=C\)
érték minden bolygóra nézve ugyanakkora. A Föld adatai alapján \(\displaystyle C=1\,\mathrm{CSE^3}/\textrm{év}\mathrm{^2}\), amiből az Eros keringési ideje \(\displaystyle T=1{,}76\,\textrm{év}\). Az adatokat behelyettesítve (\(\displaystyle 1\,\mathrm{CSE}=1{,}496\cdot 10^8\,\mathrm{km}\) és \(\displaystyle 1\,\textrm{év}=365{,}24\cdot 24\cdot 3600=3{,}156\cdot 10^7\,\mathrm{s}\) értékkel számolva):
$$\begin{gather*} v_\mathrm{max}=v_\mathrm{p}=6{,}54\,\mathrm{CSE/év}=31{,}0\,\mathrm{km/s},\\ v_\mathrm{min}=v_\mathrm{a}=4{,}15\,\mathrm{CSE/év}=19{,}7\,\mathrm{km/s}. \end{gather*}$$Statisztika:
A P. 5610. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai