 |
A P. 5611. feladat (2024. december) |
P. 5611. Az ábrán látható ,,kettős jojó'' két egyforma, homogén tömegeloszlású korongból és a rájuk tekert fonalakból áll.
A két testet a fonalak függőleges helyzetéből kezdősebesség nélkül indítjuk el.
a) Melyik korong tengelyének lesz nagyobb a sebessége egy bizonyos idő elteltével, és hányszorosa ez a sebesség a másik korongénak?
b) Melyik korong szögsebessége lesz nagyobb egy bizonyos idő elteltével, és hányszorosa ez a szögsebesség a másik korongénak?
(A kérdéses pillanatban a fonalak még nem tekeredtek le a korongokról.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a korongok tömege \(\displaystyle m\), sugara \(\displaystyle r\), a felső korong tömegközéppontjának gyorsulása \(\displaystyle a_1\), szöggyorsulása \(\displaystyle \beta_1\), az alsó korongé \(\displaystyle a_2\) és \(\displaystyle \beta_2\). A felső fonalat feszítő erőt jelölje \(\displaystyle K_1\), az alsó fonálban ható erőt pedig \(\displaystyle K_2\) (lásd az ábrát).
A következő mozgásegyenleteket írhatjuk fel:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mg+K_2-K_1=ma_1,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle mg-K_2=ma_2,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle K_1r=\frac12mr^2\beta_1,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle K_2r=\frac12mr^2\beta_2.\) |
A fonalak hosszának állandósága miatt fennállnak még az
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle a_1=r\beta_1\) |
és az
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle a_2-a_1=r\beta_2\) |
kényszerfeltételek.
Az (1)-(6) lineáris egyenletrendszer megoldásából kapjuk:
\(\displaystyle a_1=\cfrac{8}{11}g\qquad \text{és}\qquad a_2=\cfrac{10}{11}g,\)
továbbá
\(\displaystyle \beta_1=\frac{8}{11}\,\frac{g}{r}\qquad \text{és}\qquad \beta_2=\frac{2}{11}\,\frac{g}{r}.\)
a) A korongok tömegközéppontja egyenletesen gyorsul, a sebességük tehát egy adott idő múlva a gyorsulásukkal arányos. Eszerint az alsó korong sebessége bármely időpontban nagyobb, mint a felső korongé:
\(\displaystyle \frac{v_2}{v_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{4}.\)
b) A korongok szöggyorsulása állandó, a szögsebességek tehát egy adott pillanatban a szöggyorsulással arányosak:
\(\displaystyle \frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{\beta_1}{\beta_2}=4,\)
tehát a felső korong szögsebessége lesz nagyobb az indulás utáni időpillanatokban.
Statisztika:
A P. 5611. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai