 |
A P. 5613. feladat (2024. december) |
P. 5613. Egy mol rézből készült lapos korongot \(\displaystyle 1~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nagyságú, vízszintes irányú sebességgel mozgatunk szintén vízszintes, a sebességre merőleges, \(\displaystyle 1~\mathrm{T}\) erősségű, homogén mágneses térben. A korong úgy helyezkedik el, hogy alap- és fedőlapja is vízszintes. Az alap- és fedőlap átmérője hússzorosa a korong magasságának.
Becsüljük meg, hogy a mozgási indukció következtében hány elektron halmozódik fel a korong negatívra töltődő lapján!
Példatári feladat nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Azt a közelítést alkalmazzuk, hogy a korong alsó és felső lapján egyenletes töltéseloszlás jön létre, a korong palástja viszont semleges marad. A korong felső lapja pozitív, alsó lapja pedig negatív töltésű lesz, vagyis a felső lapról elektronok vándorolnak az alsó lapra. A szétvált töltések nagysága legyen \(\displaystyle \Delta q\), a korong magassága legyen \(\displaystyle h\), alap-, illetve fedőlapjának sugara pedig \(\displaystyle R=10h\). A korongban kialakuló indukált térerősséget a Gauss-tételből határozhatjuk meg:
\(\displaystyle E=4\pi k\frac{\Delta q}{\pi R^2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}.\)
Az ebből a térerősségből származó elektromos erő tart egyensúlyt a mágneses Lorentz-erővel:
\(\displaystyle qE=qvB\qquad\rightarrow\qquad\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}=vB\qquad\rightarrow\qquad\Delta q=\varepsilon_0\pi R^2vB.\)
Ezután már csak a rézkorong méretét kell meghatározni. Egy mól réz tömege \(\displaystyle M=63{,}5\,\mathrm{g}\), a réz sűrűsége \(\displaystyle \varrho=8{,}96\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}}\), tehát a térfogata: \(\displaystyle V=\tfrac{M}{\varrho}=7{,}09\,\mathrm{cm^3}\). Másrészt a korong geometriai adataiból a térfogata \(\displaystyle V=\pi R^2h=\tfrac{\pi R^3}{10}\), a kettőt összevetve \(\displaystyle R=2{,}83\,\mathrm{cm}\). Behelyettesítés után megkapjuk a szétvált töltés nagyságát: \(\displaystyle \Delta q=2{,}22\cdot 10^{-14}\,\mathrm{C}\), amit az elemi töltés nagyságával kell elosztanunk, hogy választ kapjunk a kérdéses elektronszámra:
\(\displaystyle N=\frac{\Delta q}{e}=138\,600.\)
Megjegyzés. Mivel a feladatban a sebesség is, a mágneses indukció is SI mértékrendszerben egységnyi, így az indukált térerősség is egységnyi: \(\displaystyle E=vB=1\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\). Ez a térerősség a korong összes belső pontjában egzaktul ennyi, más szóval a nagyjából száznegyvenezer elektron úgy oszlik el a felületen, hogy a korong belsejében minden pontban ugyanolyan legyen \(\displaystyle E\) nagysága és iránya. A széleffektusok miatt valamennyi töltés jut a korong palástjára is, de ennek mennyisége kicsiny a korong lapossága miatt.
Statisztika:
A P. 5613. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai