A P. 5613. feladat (2024. december)

P. 5613. Egy mol rézből készült lapos korongot $\displaystyle 1~\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nagyságú, vízszintes irányú sebességgel mozgatunk szintén vízszintes, a sebességre merőleges, $\displaystyle 1~\mathrm{T}$ erősségű, homogén mágneses térben. A korong úgy helyezkedik el, hogy alap- és fedőlapja is vízszintes. Az alap- és fedőlap átmérője hússzorosa a korong magasságának.

Becsüljük meg, hogy a mozgási indukció következtében hány elektron halmozódik fel a korong negatívra töltődő lapján!

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt a közelítést alkalmazzuk, hogy a korong alsó és felső lapján egyenletes töltéseloszlás jön létre, a korong palástja viszont semleges marad. A korong felső lapja pozitív, alsó lapja pedig negatív töltésű lesz, vagyis a felső lapról elektronok vándorolnak az alsó lapra. A szétvált töltések nagysága legyen $\displaystyle \Delta q$, a korong magassága legyen $\displaystyle h$, alap-, illetve fedőlapjának sugara pedig $\displaystyle R=10h$. A korongban kialakuló indukált térerősséget a Gauss-tételből határozhatjuk meg:

$\displaystyle E=4\pi k\frac{\Delta q}{\pi R^2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}.$

Az ebből a térerősségből származó elektromos erő tart egyensúlyt a mágneses Lorentz-erővel:

$\displaystyle qE=qvB\qquad\rightarrow\qquad\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}=vB\qquad\rightarrow\qquad\Delta q=\varepsilon_0\pi R^2vB.$

Ezután már csak a rézkorong méretét kell meghatározni. Egy mól réz tömege $\displaystyle M=63{,}5\,\mathrm{g}$, a réz sűrűsége $\displaystyle \varrho=8{,}96\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}}$, tehát a térfogata: $\displaystyle V=\tfrac{M}{\varrho}=7{,}09\,\mathrm{cm^3}$. Másrészt a korong geometriai adataiból a térfogata $\displaystyle V=\pi R^2h=\tfrac{\pi R^3}{10}$, a kettőt összevetve $\displaystyle R=2{,}83\,\mathrm{cm}$. Behelyettesítés után megkapjuk a szétvált töltés nagyságát: $\displaystyle \Delta q=2{,}22\cdot 10^{-14}\,\mathrm{C}$, amit az elemi töltés nagyságával kell elosztanunk, hogy választ kapjunk a kérdéses elektronszámra:

$\displaystyle N=\frac{\Delta q}{e}=138\,600.$

Megjegyzés. Mivel a feladatban a sebesség is, a mágneses indukció is SI mértékrendszerben egységnyi, így az indukált térerősség is egységnyi: $\displaystyle E=vB=1\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}$. Ez a térerősség a korong összes belső pontjában egzaktul ennyi, más szóval a nagyjából száznegyvenezer elektron úgy oszlik el a felületen, hogy a korong belsejében minden pontban ugyanolyan legyen $\displaystyle E$ nagysága és iránya. A széleffektusok miatt valamennyi töltés jut a korong palástjára is, de ennek mennyisége kicsiny a korong lapossága miatt.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik.
3 pontot kapott:	Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt.

A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai