A P. 5614. feladat (2024. december)

P. 5614. Számos olyan radioaktív izotóp létezik, melyek pozitív béta-bomlásra és elektronbefogásra egyaránt képesek (mindkét esetben ugyanaz a mag keletkezik). Melyik folyamatnak nagyobb a bomlási energiája és mennyivel?

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a $\displaystyle Z$ rendszámú és $\displaystyle A$ tömegszámú semleges atom tömegét $\displaystyle M(Z,A)$. Ezt a tömeget – amely az atommag tömegének és $\displaystyle Z$ darab elektron tömegének összege – adják meg nagy pontossággal az izotóptömeg-táblázatok (lásd pl. a KöMaL honlapján https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf).

Elektronbefogásnál az atommag bizonyos valószínűséggel ,,befogja'' az elektronhéj egyik elektronját, amely az atommag egyik protonjával együtt egy neutront és egy neutrínót hoz létre. Ennek megfelelően egy $\displaystyle Z-1$ rendszámú és $\displaystyle A$ tömegszámú atommagból, valamint $\displaystyle Z-1$ darab elektronból álló semleges atom jön létre, miközben felszabadul $\displaystyle E_\textrm{befogás}$ nagyságú energia, amit a nulla nyugalmi tömegű neutrínó ,,visz el''. Az energiamegmaradás egyenlete:

$\displaystyle M(Z,A)c^2=M(Z-1,A)c^2+E_\textrm{befogás}.$

A pozitív $\displaystyle \beta$-bomlás során az atommag egyik protonja neutronná alakul, miközben keletkezik egy $\displaystyle m_+$ tömegű pozitron és egy neutrínó. A $\displaystyle Z-1$ rendszámú atom környezetében $\displaystyle Z$ darab $\displaystyle m_-$ tömegű elektron marad, tehát egy negatív ion jön létre. A folyamatban felszabadul $\displaystyle E_{\beta^+}$ nagyságú energia, ezt a pozitron és a neutrínó ,,viszi el''. Az energia mérlegegyenlete:

$\displaystyle M(Z,A)c^2=M(Z-1,A)c^2+m_-c^2+m_+c^2+E_{\beta^+}.$

A fenti két egylet összehasonlításából kapjuk, hogy

$\displaystyle E_\textrm{befogás}=E_{\beta^+}+m_-c^2+m_+c^2.$

Mivel az elektron és a pozitron nyugalmi energiája egyaránt 0,511 MeV nagyságú, látjuk, hogy az elektronbefogás bomlási energiája 1,022 MeV-vel nagyobb, mint a pozitív béta-bomlásé.

Megjegyzés. A megoldás során az elektronhéj elektronjainak kötési energiáját elhanyagolhatóan kicsinek tekintettük.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Erős Fanni, Hasulyó Dorián, Hübner Júlia, Simon János Dániel.
3 pontot kapott:	Magyar Zsófia, Sipos Márton.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. decemberi fizika feladatai