A P. 5617. feladat (2025. január)

P. 5617. Egy $\displaystyle 30^\circ$-os hajlásszögű, $\displaystyle 1~\mathrm{m}$ magasságú, súrlódásmentes lejtő alján egy kis test nyugszik. A lejtőt vízszintesen $\displaystyle 7~\mathrm{m/s^2}$ gyorsulással mozgatni kezdjük. Mennyi idő múlva kerül a test a lejtő tetejére?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.

I. megoldás. A lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben a testre az $\displaystyle mg$ nehézségi erőn és a lejtő $\displaystyle F_\mathrm{n}$ nyomóerején kívül $\displaystyle ma_0$ nagyságú, a lejtő gyorsulásával ellentétes irányú (vízszintes) tehetetlenségi erő is hat (1. ábra), ahol $\displaystyle a_0=7\,\mathrm{m/s^2}$ a lejtő gyorsulása az inerciarendszerben.

1. ábra

A mozgásegyenletek:

hiszen a test – ebben a vonatkoztatási rendszerben – csak a lejtő síkjával párhuzamosan mozoghat. Az első egyenletből:

$\displaystyle a=a_0\cos\alpha-g\sin\alpha\approx 1{,}16\,\mathrm{m/s^2}.$

Ebben a vonatkoztatási rendszerben a lejtő áll, és a testnek a lejtőn kell végighaladnia. A $\displaystyle h$ magasságú lejtő hossza

$\displaystyle s=\frac{h}{\sin\alpha}=2\,\mathrm{m},$

az egyenletesen gyorsuló test ezt a távolságot

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2s}{a}}\approx 1{,}86\,\mathrm{s}$

idő alatt teszi meg.

Megjegyzés. a test csak akkor indul el felfelé a lejtőn, ha $\displaystyle a=a_0\cos\alpha-g\sin\alpha>0$, amiből az $\displaystyle a_0>g\tg\alpha$ feltétel adódik. $\displaystyle 30^\circ$-os lejtő esetében ez $\displaystyle a_0>5{,}66\,\mathrm{m/s^2}$ feltételt jelent.

II. megoldás. A lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben minden testre hat az $\displaystyle mg$ nehézségi erő és az $\displaystyle ma_0$ nagyságú tehetetlenségi erő is, így a testek azt ,,érzik'' mintha $\displaystyle \boldsymbol{g}'=\boldsymbol{g}+\boldsymbol{a}_0$ nehézségi gyorsulás lenne. A $\displaystyle \boldsymbol{g}'$ nagysága:

$\displaystyle g'=\sqrt{g^2+a_0^2}\approx 12{,}05\,\mathrm{m/s^2},$

iránya pedig

$\displaystyle \gamma=\arctg\frac{a_0}{g}\approx 35{,}5^\circ$

szöget zár be a függőlegessel (2/a ábra). Ebben az erőtérben a test úgy mozog, mintha egy $\displaystyle \beta=\gamma-\alpha\approx 5{,}5^\circ$ hajlásszögű lejtőn csúszna le $\displaystyle g'$ nehézségi gyorsulás mellett (2/b ábra).

2. ábra

A súrlódásmentes lejtőn lecsúszó test gyorsulása jól ismert:

$\displaystyle a=g'\sin\beta\approx 1{,}16\,\mathrm{m/s^2},$

amiből a ,,lecsúszás'' ideje az előző megoldással egyező módon $\displaystyle t\approx 1{,}86\,\mathrm{s}$.

III. megoldás. A feladat inerciarendszerben is megoldható. Ekkor a testre csak a nehézségi erő és a lejtő nyomóereje hat, azonban a test nem a lejtő síkjában fog mozogni (hiszen ebben a vonatkoztatási rendszerben a lejtő is mozog). Az erőket és az elmozdulásokat a 3. ábra mutatja (az ábra méretei torzítottak).

3. ábra

A mozgásegyenletek:

ahol $\displaystyle a_x$ és $\displaystyle a_y$ a test vízszintes és függőleges gyorsuláskomponense.

Másrészt az ábráról leolvasható, hogy a test és a lejtő elmozdulásvektorának különbsége egyenlő a lejtő aljától a tetejéig mutató vektorral:

$\displaystyle \boldsymbol{s}_\textrm{test}-\boldsymbol{s}_\textrm{lejtő}=\boldsymbol{s}.$

A test és a lejtő elmozdulásvektora is arányos a gyorsulásvektorukkal (hiszen ugyanannyi ideig és egyenes vonalban, zérus kezdősebességről egyenletesen gyorsulva mozog mindkettő), így ebből a gyorsulásokra adódó feltétel:

Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva:

$\displaystyle a_y=a_0\sin\alpha\cos\alpha-g\sin^2\alpha\approx 0{,}58\,\mathrm{m/s^2}.$

A testnek $\displaystyle h=1\,\mathrm{m}$ magasra kell feljutnia, ehhez

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{a_y}}\approx 1{,}86\,\mathrm{s}$

időre van szükség.

Megjegyzés. A feladat nem kérdezi, de meghatározhatjuk a lejtő elmozdulását is: a lejtő

$\displaystyle d=\frac{a_0}{2}t^2=\frac{a_0}{a_y}h=\frac{a_0}{a_0\sin\alpha\cos\alpha-g\sin^2\alpha}h\approx 12{,}1\,\mathrm{m}$

utat tesz meg (ezért kellett torzított ábrát készíteni).

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balázs Barnabás, Bálint Áron, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Benyó Júlia , Bús László Teodor, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Domján Noémi Dóra, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Hübner Júlia, Illés Dóra, Kis Boglárka 08, Konkoly Zoltán, Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Sárecz Bence, Sütő Áron, Szabó Donát, Szécsi Bence, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
3 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Éliás Kristóf , Magyar Levente Árpád, Pituk Péter, Sipos Márton, Varga Zétény, Vértesi Janka, Vincze Anna, Zólomy Csanád Zsolt.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári fizika feladatai