A P. 5618. feladat (2025. január)

P. 5618. Egy $\displaystyle m$ tömegű gyöngyöt fűztünk egy elegendően hosszú, függőleges helyzetű, rögzített, feszes drótra, amelyhez egy fonalat erősítettünk. A fonalat, az ábra szerint egy vízszintes rúdon átvetettünk, és függőleges darabjának végéhez egy kicsiny, $\displaystyle 2m$ tömegű nehezéket rögzítettünk. A rúd a dróttól $\displaystyle d$ távolságra van. A gyöngyhöz kapcsolódó fonalszál vízszintes helyzetében a gyöngynek felfelé mutató, $\displaystyle v_0=\sqrt{2gd}$ nagyságú kezdősebességet adunk.

a) A gyöngy legfelső helyzetének a kiindulási ponttól való távolsága legyen $\displaystyle f$, a legalsó helyzetének a kiindulási ponttól való távolsága pedig $\displaystyle \ell$. Mekkora az $\displaystyle \ell/f$ hányados?

b) Mekkora a fonálban ébredő erő a gyöngy legfelső helyzetében és a kiindulási ponton való áthaladáskor?

(A súrlódás mindenhol elhanyagolható.)

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Az a pályapont, amikor a fonálnak a gyöngyhöz rögzített szakasza vízszintes, nem egyensúlyi helyzet, de kitünteti, hogy a fonálon lógó test ilyenkor van a legmélyebben, és a sebessége ebben a helyzetben mindig nulla.

a) A szélső helyzetek pozícióit legegyszerűbben az energiamegmaradás törvényének segítségével számolhatjuk ki. A fentiek alapján a kiinduló helyzetben csak a gyöngy mozog, a kinetikus energiája pedig a feladatban megadott kezdősebességet behelyettesítve:

$\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2=mgd.$

Mérjük az elmozdulásokat a kiindulási helyzettől, ezek legyenek pozitívak, ha fölfelé mutatnak, és jelöljük a gyöngy és a lógó test magasságát a szélső helyzetben $\displaystyle h_1$ illetve $\displaystyle h_2$-vel. Az energiamérleg szerint

$\displaystyle mgd=mgh_1+2mgh_2.$

A két magasság között a kötél nyújthatatlanságát kifejező egyenlet ad összefüggést. Ha a gyöngy pozíciója $\displaystyle x_1$, a fonálon függő testé pedig $\displaystyle x_2$, a Pitagorasz tétel szerint

$\displaystyle x_1^2+d^2=\left(d+x_2\right)^2,$

a szélső helyzetben tehát

$\displaystyle \sqrt{h_1^2+d^2}-d=h_2.$

Egyszerűsítések és a $\displaystyle h_2$ kiküszöbölése a

$\displaystyle 3d=h_1+2\sqrt{h_1^2+d^2}$

egyenletre vezet, amelyből átrendezéssel és négyzetre emeléssel a

$\displaystyle 3h_1^2+6dh_1-5d^2=0$

másodfokú egyenlet kapható. Ennek a pozitív gyöke éppen $\displaystyle f$, a negatív gyöke pedig az $\displaystyle l$ mínusz egyszerese:

tehát

$\displaystyle \frac{l}{f}=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{3}}=4{,}16.$

b) A kötélerő meghatározásához a mozgásegyenleteket kell felírnunk! Jelöljük a gyöngy és a fonálon függő test gyorsulását $\displaystyle a_1$ és $\displaystyle a_2$-vel, legyen $\displaystyle K_1$ a fonalban ható erő, és $\displaystyle \varphi$ a gyöngyhöz csatlakozó fonaldarab vízszintessel bezárt szöge a szélső helyzetben ($\displaystyle \sin\varphi=f/\sqrt{f^2+d^2}$)! Ezekkel

A szélső helyzet közelében az egyes testek pozíciói (hiszen itt a sebesség zérus)

$\displaystyle x_1=f+\frac{1}{2}a_1(\Delta t)^2,$

illetve

$\displaystyle x_2=h_2+\frac{1}{2}a_2(\Delta t)^2$

alakúak, (ahol a gyorsulások értéke negatív, és a $\displaystyle \Delta t$ az az idő, ami a szélső helyzet eléréséhez kell, vagy azóta eltelt). Ezeket az értékeket helyettesítve a kényszeregyenletbe, az összefüggést ad a két gyorsulás között:

$\displaystyle \left(f+\frac{1}{2}a_1(\Delta t)^2\right)^2+d^2=\left(d+h_2+\frac{1}{2}a_2(\Delta t)^2\right)^2.$

Ebből átrendezések után, a $\displaystyle \Delta t$-ben csak a vezető kvadratikus rendet megtartva az

$\displaystyle f^2+d^2-\left(d+h_2\right)^2=\left((d+h_2)a_2-fa_1\right)(\Delta t)^2$

egyenletet kapjuk. A baloldal $\displaystyle f$ és $\displaystyle h_2$ definíciója miatt nulla, tehát a jobb oldal is az, azaz

$\displaystyle a_2=\frac{f}{d+h_2}a_1=a_1\sin\varphi.$

A két mozgásegyenlettel együtt ez három ismeretlenre három egyenlet, aminek a megoldása a kötélerőre

$\displaystyle K_1=\frac{2(1-\sin\varphi)}{1+2\sin^2\varphi}mg=0{,}592\,mg.$

Abban a pillanatban, amikor a rendszer a kiinduló helyzeten áthalad, a kötél nem befolyásolja a gyöngy gyorsulását, mert a kötélerőnek nincs a drót irányába eső komponense. Ilyenkor tehát $\displaystyle a_1=-g$ és a gyöngy mozgása jó közelítéssel az

$\displaystyle x_1=\pm v_0(\delta t)-\frac{1}{2}g(\delta t)^2$

formában adható meg, ahol a sebesség előjele utal arra, hogy milyen irányban halad át a rendszer az adott pozíción, és $\displaystyle \delta t$ az ettől a pillanattól mért idő. A fonálon függő test a pályája legmélyebb pontja közelében van, mozgását az

$\displaystyle x_2=\frac{1}{2}a_2(\delta t)^2$

kifejezés adja meg. Itt, a kötélerőt $\displaystyle K_2$-vel jelölve,

$\displaystyle 2ma_2=-2mg+K_2.$

Ilyen $\displaystyle x_1$ és $\displaystyle x_2$ mellett a kötél nyújthatatlanságát a

$\displaystyle d^2+\left(\pm v_0(\delta t)-\frac{1}{2}g(\delta t)^2\right)^2=\left(d+\frac{1}{2}a_2(\delta t)^2\right)^2$

egyenlet fejezi ki. Ebből a $\displaystyle (\delta t)$-ben köbös és negyedrendű tagokat elhanyagolva

$\displaystyle a_2=\frac{v_0^2}{d}=2g$

adódik, így

$\displaystyle K_2=6mg.$

Megjegyzés. Figyelemre méltó, hogy amíg a szélső helyzetben a kötél gyorsulása a gyöngy gyorsulásának a fonal irányába mutató komponense, amikor a gyöngy a kiinduló helyzeten áthalad, a gyorsulása nem, csak a sebessége befolyásolja a fonal gyorsulását. A megoldásban alkalmazott módszerrel nem nehéz belátnunk, hogy egy tetszőleges, $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle v_1$, $\displaystyle v_2$, és $\displaystyle a_1$, $\displaystyle a_2$ adatokkal jellemzett közbülső helyzetben

$\displaystyle v_2=v_1\sin\phi,\qquad\textrm{és}\qquad a_2=a_1\sin\phi+\frac{\left(v_1\cos\phi\right)^2}{\sqrt{d^2+x_1^2}},$

ahol $\displaystyle \phi$ a fonal gyöngyhöz csatlakozó részének a vízszintessel bezárt szöge ($\displaystyle \sin\phi=x_1/\sqrt{x_1^2+d^2}$).

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Simon János Dániel.
4 pontot kapott:	Erdélyi Dominik, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári fizika feladatai