A P. 5624. feladat (2025. január)

P. 5624. Két egyforma, vékony rúd egy-egy végét csukló kapcsolja össze, amely körül szabadon elfordulhatnak. Kezdetben a két rúd egy egyenes mentén helyezkedik el, az egyik rúd áll, a másik rúd szabad vége valamekkora sebességgel mozog. A rudak a súlytalanság állapotában szabadon mozoghatnak, nem hat rájuk semmilyen külső erő, és a súrlódás is elhanyagolható. Mekkora a mozgás során a két rúd által bezárt legkisebb szög?

A 2018. évi EuPhO 1. feladata nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az egyes rudak tömege $\displaystyle m$, hossza $\displaystyle \ell$ és a mozgásban lévő rúd szabad végének sebessége $\displaystyle v$. A mozgás során a rudak mindvégig a kezdeti sebesség és a rudak kezdeti helyzete által meghatározott síkban maradnak. A két rúdból álló zárt rendszer mozgási energiája is és a perdülete is a mozgás során állandó marad.

Kezdetben az egyik (az 1. ábrán a jobb oldali) rúd tömegközéppontja $\displaystyle v/2$ sebességgel mozog (felfelé) és $\displaystyle v/\ell$ szögsebességgel forog, a másik rúd áll. Az egész rendszer impulzusa $\displaystyle I=mv/2$, a rendszer tömegközéppontjának sebessége tehát $\displaystyle v_\textrm{tkp}=I/(2m)=v/4$.

1. ábra

Térjünk át a két rúd tömegközéppontjához rögzített koordináta-rendszerre. Ebben a rendszerben a bal oldali rúd mindkét vége $\displaystyle v/4$ sebességgel mozog lefelé és a szögsebessége nulla. A jobb oldali rúd egyik vége $\displaystyle 3v/4$ sebességgel mozog felfelé, a másik vége $\displaystyle v/4$ sebességgel lefelé, a szögsebessége tehát $\displaystyle v/\ell$ (lásd a 2. ábrát).

2. ábra

A rendszer mozgási energiája a tömegközépponti rendszerben

A rendszer perdülete (ugyancsak a tömegközépponti rendszerben)az egyes rudak saját tömegközéppontjuk körüli forgómozgásából származó ,,sajátperdületének'' és a tömegközéppontjuk mozgásából eredő ,,pályaperdületének" összege:

A további mozgás során a rudak általában különböző szögsebességgel mozognak, és emiatt a közrezárt szögük időben változik. Abban a pillanatban, amikor a rudak által bezárt $\displaystyle 2\varphi$ szög eléri a legkisebb értékét (feltételezve, hogy ilyen minimum valóban létrejön), a rudak relatív szögsebességének pillanatnyi értéke nulla kell, hogy legyen, vagyis mindkét rúd ugyanakkora $\displaystyle \omega$ szögsebességgel fog forogni a rendszer tömegközéppontja körül (3. ábra). Azt is mondhatjuk, hogy a két rúd ebben a pillanatban merev testként viselkedik.

3. ábra

Legyen a két rúdból álló rendszer tehetetlenségi nyomatéka a legkisebb közrezárt szögnél a rendszer $\displaystyle T$ tömegközéppontjára vonatkoztatva $\displaystyle \varTheta$. Ekkor az összenergia

$\displaystyle E=\frac{1}{2}\varTheta\omega^2,$

az összperdület pedig

$\displaystyle N=\varTheta\,\omega$

módon számítható. Látszik, hogy az $\displaystyle N^2/(2E)$ mennyiségből kiesik a szögsebesség:

(3) bal oldala (1) és (2)-ből adódóan

$\displaystyle \frac{N^2}{2E}=\frac{8}{15}m\ell^2,$

a jobb oldala pedig a Steiner-tétel felhasználásával

$\displaystyle \varTheta=2\cdot\left[\frac{1}{12}m\ell^2+m\left(\frac{\ell}{2}\sin\varphi\right)^2\right]=\left(\frac{1}{6}+\frac {\sin^2\varphi}2\right)m\ell^2.$

A fenti két kifejezés egyenlőségéből

$\displaystyle \frac{8}{15}=\frac{1}{6}+\frac{\sin^2\varphi}2,$

vagyis

$\displaystyle \sin\varphi=\sqrt{\frac{11}{15}}$

következik, vagyis a rudak által bezárt legkisebb szög

$\displaystyle 2\varphi=2\arcsin\sqrt{\frac{11}{15}}\approx 118^\circ.$

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Fajszi Karsa, Kovács Tamás, Tóth Hanga Katalin.
5 pontot kapott:	Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. januári fizika feladatai