A P. 5626. feladat (2025. február)

P. 5626. Egy motoros álló helyzetből indulva úgy halad egy körpályán, hogy sebességének nagysága egyenletesen növekszik. Az indulástól számítva mekkora szöggel fordul el a pálya mentén, mire gyorsulásának iránya a kezdeti gyorsulásának irányára először lesz merőleges?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A motorosnak kezdetben csak érintőirányú gyorsulása van, később viszont a gyorsulásvektora az $\displaystyle a_\mathrm{t}$ nagyságú tangenciális és az $\displaystyle a_\mathrm{cp}$ nagyságú centripetális gyorsulás eredője. Jelöljük a keresett elfordulási szöget $\displaystyle \alpha$-val. Az 1. ábrán látható, hogy amikor az eredő gyorsulás először merőleges a kezdeti gyorsulásra, akkor

1. ábra

A nulla kezdősebességről állandó $\displaystyle a_\mathrm{t}$ érintőirányú gyorsulással mozgó testre fennáll:

$\displaystyle v^2=2a_\mathrm{t}s=2a_\mathrm{t}R\alpha,$

ahol $\displaystyle v$ a motoros sebessége az $\displaystyle s=R\alpha$ út megtétele után. A centripetális gyorsulás:

$\displaystyle a_\mathrm{cp}=\frac{v^2}{R}=\frac{2a_\mathrm{t}R\alpha}{R}=2a_\mathrm{t}\alpha.$

Ezt behelyettesítve az (1) kifejezésbe a

$\displaystyle \ctg\alpha=2\alpha$

transzcendens egyenletet kapjuk.

Az egyenletet iterálással vagy grafikusan (2. ábra) megoldva a keresett elfordulási szög:

$\displaystyle \alpha=0{,}653\approx 37^\circ.$

2. ábra

Az iterálásnál egy tetszőleges $\displaystyle 0<\alpha_0<\tfrac{\pi}{2}$ értékről elindulhatunk. Ezután az

$\displaystyle \alpha_{i+1}=\frac{\alpha_i+\frac{\ctg\alpha_i}{2}}{2}$

eljárást addig folytatjuk, amíg az értéket kellő pontossággal megkapjuk. Ha $\displaystyle \alpha_0=1$ értékről indulunk, akkor négy tizedesre számolva

Ugyanilyen jó a ,,fordított''

$\displaystyle \alpha_{i+1}=\frac{\alpha_i+\arcctg(2\alpha_i)}{2}$

algoritmus. Ekkor, szintén $\displaystyle \alpha_0=1$-ről indulva:

Megjegyzés. Lassabban konvergál, de egy zsebszámológépen* (természetesen radián állásban) például 1 kiinduló értékről indulva periodikusan a

gombokat nyomkodva (mindaddig, míg kellő pontossággal ugyanaz az érték adódik) szintén megkapjuk az eredményt. (Ugyanakkor a ,,másik irányban'' próbálkozva, a

lépéssor divergens lesz.)

*Az eljárás részletei attól függenek, hogy milyen zsebszámológépet használunk. Az itt leírtak egy egyszerű TI-30 SLR számológép jelöléseit tartalmazzák.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Áron, Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Erdélyi Dominik, Fekete Lúcia, Kis Boglárka 08, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Tamás, Misik Balázs, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári fizika feladatai