A P. 5631. feladat (2025. február)

P. 5631. Közismert, hogy egy egyenletesen töltött, vékony, nagyon hosszú, egyenes száltól $\displaystyle R$ távolságra mekkora az elektromos térerősség. Hasonlítsuk össze ezt a térerősséget egy $\displaystyle R$ sugarú félkör középpontjában létrejövő térerősséggel, feltételezve, hogy a félkört egy ugyanolyan tulajdonságú, ugyanolyan vonalmenti töltéssűrűségű szálból készítettük!

Amerikai feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 17-én LEJÁRT.

I. megoldás. Legyen a szál vonalmenti töltéssűrűsége (egységnyi hosszúságú darabjának töltése) $\displaystyle \lambda$. A nagyon hosszú, egyenes száltól $\displaystyle R$ távolságban az elektromos térerősség nagysága

amit a $\displaystyle k=1/(4\pi\varepsilon_0)$ Coulomb-állandóval kifejezve így is felírhatunk:

Megjegyzés. A fenti képlet helyességét pl. a Gauss-féle fluxustörvényből is megkaphatjuk. A szál $\displaystyle \ell$ hosszúságú darabjának töltése $\displaystyle Q=\lambda\ell$. Ha a szálat koaxiálisan körülvesszük egy $\displaystyle R$ sugarú hengerrel, annak palástjára vonatkoztatott elektromos fluxus $\displaystyle \Psi=2R\pi\ell E_1.$ A fluxustörvény szerint $\displaystyle \Psi=\tfrac{1}{\varepsilon_0}Q$, ezekből pedig (1) már következik.

Tekintsük most az $\displaystyle R$ sugarú, félkör alakú szál esetét. A félkör $\displaystyle O$ középpontjában az elektromos térerősség iránya a félkör szimmetriatengelye, nagysága pedig legyen $\displaystyle E_2$. Ha a félkör középpontjába egy $\displaystyle q$ nagyságú ponttöltést helyezünk, arra $\displaystyle qE_2$ nagyságú erő hat. Ugyanekkora nagyságú, de ellentétes irányú erőt fejt ki a ponttöltés az egyenletesen töltött szálra.

1. ábra

A félkör alakú szálnak egy kicsiny, $\displaystyle O$-ból nézve $\displaystyle \Delta\varphi$ szög alatt látszó darabkájának töltése $\displaystyle \lambda R\Delta\varphi,$ erre tehát a $\displaystyle q$ töltés

$\displaystyle \Delta F=k\frac{q\,\lambda R\Delta\varphi}{R^2}$

nagyságú, sugár irányban ,,kifelé'' mutató erőt fejt ki. Ezen erőnek a szimmetriatengely irányú komponense $\displaystyle \Delta F \cos\varphi$, ahonnan az egyes darabkák járulékainak összegzésével kapjuk, hogy

$\displaystyle qE_2=\sum k\frac{q\,\lambda R\Delta\varphi}{R^2}\,\cos\varphi.$

Innen – a felosztás finomításával integrálásra áttérve – adódik a keresett eredmény:

$\displaystyle E_2=k\frac{\lambda}{R}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi.$

Az integrál számértéke 2, így (1')-vel összevetve megállapíthatjuk, hogy $\displaystyle E_2=E_1$, vagyis a kétféle elrendezés térerőssége a vizsgált pontban ugyanakkora.

Megjegyzés. A félkörre ható eredő erő nagyságát integrálszámítás nélkül is meghatározhatjuk. Megállapíthatjuk, hogy a félkör alakú szálra hosszegységenként $\displaystyle p=kq\lambda/R^2$ nagyságú, a száldarabka érintőjére merőleges irányú erő hat. ($\displaystyle p$ a folyadékok nyomásához hasonló, ,,vonalmenti nyomásként'' értelmezhető mennyiség.) Egészítsük ki a félkör-szálat egy a végpontjai között elhelyezkedő, $\displaystyle 2R$ hosszúságú egyenes darabbal, aminek ugyanakkora a töltéssűrűsége, mint a félköré. Ha erre az egyenes szálra is $\displaystyle p$ ,,nyomást'', tehát $\displaystyle 2Rp$ nagyságú erőt fejtünk ki, akkor a zárt hurokra ható eredő erő nullává válik. (Analóg helyzet: egy zárt tartályra a benne lévő gáz nyomása nem fejt ki eredő erőt.) Ennek megfelelően a félkörre ható $\displaystyle qE_2$ elektromos erő is $\displaystyle 2Rp=2kq\lambda/R$ nagyságú, azaz $\displaystyle E_2=E_1$ teljesül.

II. megoldás. A két töltött szál $\displaystyle O$ pontbeli elektromos térerősségét anélkül is össze tudjuk hasonlítani, hogy bármelyik térerősség nagyságát kiszámítanánk. Megmutatjuk, hogy a két szál egymásnak megfeleltethető kicsiny darabkáinak térerőssége ugyanolyan irányú és ugyanolyan nagyságú vektor, emiatt ezeknek a vektoroknak az összege, vagyis az eredő elektromos térerősség a kétféle alakú szálra ugyanakkora.

Tekintsük a félkörív és az egyenes szál azon kicsiny darabkáit, amelyek az $\displaystyle O$ pontból nézve ugyanolyan irányban és ugyanakkora szög alatt látszanak.

2. ábra

A 2. ábra jelöléseit követve megállapíthatjuk, hogy a körív alakú szál kicsiny $\displaystyle x=R\Delta\varphi$ hosszúságú ívén $\displaystyle Q_1=\lambda x$ töltés, az egyenes szál $\displaystyle y$ hosszúságú részén pedig $\displaystyle Q_2=\lambda y$ töltés található. Ezek a töltések az $\displaystyle O$ pontban

$\displaystyle E_1=k\lambda\frac{x}{R^2},\qquad\textrm{illetve}\qquad E_2=k\lambda\frac{y}{r^2}$

nagyságú elektromos térerősséget hoznak létre. Ez a két térerősség azonban egyforma nagy, hiszen az $\displaystyle OAB\triangle$ és a $\displaystyle BCD\triangle$ hasonlósága miatt

$\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{y}{r\Delta\varphi}=\frac{yR}{xr},\qquad\textrm{tehát}\qquad\frac{y}{r^2}=\frac{x}{R^2}.$

A fenti megfontolások során kihasználtuk, hogy $\displaystyle x\ll R$ és $\displaystyle y\ll r$, vagyis a szálak kis darabkáinak látószöge nagyon kicsi, emiatt a kicsiny körívek hossza és a megfelelő húrok hossza egyenlőnek vehető.

Statisztika:

A P. 5631. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. februári fizika feladatai