A P. 5633. feladat (2025. február)

P. 5633. Széles, párhuzamos, homogén fénynyalábbal optikai kísérletet végzünk. Ennek során egy kicsiny kockát világítunk meg különböző irányokból, amelynek felülete

a) kormozott,

b) ezüstözött.

Milyen irány vagy irányok esetén lesz a fénysugarak által kifejtett erő a lehető legnagyobb?

(Az egyszerűség kedvéért tekintsük a kormozott felszínt tökéletes elnyelőnek, míg az ezüstözöttet tökéletes visszaverőnek.)

Dürer Verseny feladata nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A fénynyaláb intenzitását az energiaáram-sűrűség (a Poynting-vektor nagysága, szokásos jelölése $\displaystyle S$) adja meg. A fénynyaláb fotonjainak $\displaystyle hf$ energiája és $\displaystyle h/\lambda$ impulzusa van ($\displaystyle \lambda=c/f$, $\displaystyle c$ a fénysebesség). Eszerint a nyaláb egy tetszőleges $\displaystyle A$ keresztmetszetű része $\displaystyle \Delta t$ idő alatt nemcsak $\displaystyle \Delta E=SA\Delta t$ energiát, hanem

$\displaystyle \Delta p=\frac{\Delta E}{c}=\frac{SA}{c}\Delta t$

impulzust is szállít. Amikor a fénynyaláb a kocka felületének ütközik, akkor az impulzusváltozás miatt a kockára erővel fog hatni (fénynyomás). A kormozott esetben a fény elnyelődik, teljes impulzusát átadja a testnek, és így az $\displaystyle A$ keresztmetszetű nyaláb által kifejtett erőhatás iránya a fénynyaláb terjedési irányával párhuzamos, nagysága pedig:

$\displaystyle F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{SA}{c}.$

Az ezüstözött esetben a fény visszaverődik. Ilyenkor az impulzus felületre merőleges komponense előjelet vált, és így az erőhatás iránya a felületre merőleges, nagysága pedig:

$\displaystyle F=\frac{2\Delta p_\perp}{\Delta t}.$

A feladat megoldásához jelöljük a kocka éleinek hosszát $\displaystyle d$-vel. A test szimmetriáiból fakadóan kitüntethetünk egy tetszőleges csúcsot, az ebben találkozó három lap befelé mutató normálvektorait jelölje rendre $\displaystyle \boldsymbol{e}_x$, $\displaystyle \boldsymbol{e}_y$ és $\displaystyle \boldsymbol{e}_z$. A fénynyaláb haladási irányát pedig az $\displaystyle \boldsymbol{n}$ egységvektorral adjuk meg. Az általánosság elvesztése nélkül korlátozhatjuk vizsgálatunkat a kitüntetett csúcs által kijelölt térnyolcadra, ekkor a beeső fénysugarakra teljesül, hogy $\displaystyle n_x=\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x\ge 0$, $\displaystyle n_y=\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_y\ge 0$ és $\displaystyle n_z=\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_z\ge 0$.

a) Tekintsük először a kormozott kocka esetét. A nyalábot alkotó $\displaystyle hf$ energiájú fotonok $\displaystyle n_xSd^2$, $\displaystyle n_ySd^2$, illetve $\displaystyle n_zSd^2$ teljesítménnyel érkeznek az egyes lapokra, és ott leadják teljes $\displaystyle h/\lambda$ nagyságú impulzusukat. Ezek alapján a kifejtett erőhatás:

$\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{Sd^2}{c}\left[\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x\right)\boldsymbol{n}+ \left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_y\right)\boldsymbol{n}+\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_z\right)\boldsymbol{n}\right].$

A szögletes zárójelben szereplő három tag azonos irányú, így az erő nagysága könnyedén kifejezhető:

A kifejezés maximumát és a maximum feltételét kétféleképp is meghatározhatjuk. (Mindkét módszer során felhasználjuk, hogy az $\displaystyle \boldsymbol{n}$ vektor egységvektor.)

1. Az (1) kifejezés első, vektoros alakjából kiindulva (a skaláris szorzat disztributív tulajdonságát felhasználva):

$\displaystyle F=\frac{Sd^2}{c}\left[\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x\right)+\left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_y\right)+ \left(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_z\right)\right]=\frac{Sd^2}{c}\boldsymbol{n}\left(\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y+\boldsymbol{e}_z\right)\leq\frac{Sd^2}{c}\left|\boldsymbol{n}\right|\left|\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y+\boldsymbol{e}_z\right|=\frac{\sqrt{3}Sd^2}{c}.$

2. Az (1) kifejezés második, skalár alakjából kiindulva a számtani és négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget felhasználva ugyanerre jutunk:

$\displaystyle F=\frac{Sd^2}{c}\left( n_x+n_y+n_z\right)\leq\frac{3Sd^2}{c}\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{3}}=\frac{\sqrt{3}Sd^2}{c}.$

Mindkét egyenlőtlenség megmutatja, hogy a fénynyomásból származó erő akkor maximális, amikor a fénysugár irányát megadó $\displaystyle \boldsymbol{n}$ és a kocka testátlójának irányába mutató $\displaystyle \boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_y+\boldsymbol{e}_z$ vektorok párhuzamosak (1. módszer), illetve – ami ezzel ekvivalens –, ha $\displaystyle n_x=n_y=n_z$ (2. módszer). Tehát akkor, ha a kockát az egyik testátlójával párhuzamosan világítjuk meg. A maximális erő ebben az esetben:

b) Tekintsük ezután az ezüstözött kocka esetét, és használjuk az eddigi jelöléseket. A nyalábot alkotó $\displaystyle hf$ energiájú fotonok most is $\displaystyle n_xSd^2$, $\displaystyle n_ySd^2$, illetve $\displaystyle n_zSd^2$ teljesítménnyel érkeznek az egyes lapokra, de ott most nem elnyelődnek, hanem visszaverődnek: a felületre merőleges $\displaystyle n_xh/\lambda$, $\displaystyle n_yh/\lambda$, illetve $\displaystyle n_zh/\lambda$ impulzuskomponenseik ellentettjükre váltanak. Ezek alapján a kifejtett erőhatás:

Megjegyzés. A (3) kifejezés magyarázatául: az $\displaystyle x$ indexű lapra $\displaystyle \Delta t$ idő alatt beérkező impulzus

$\displaystyle \Delta p_x=\frac{Sd^2}{c}n_x\Delta t=\frac{Sd^2}{c}\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x\Delta t$

nagyságú, iránya $\displaystyle \boldsymbol{n}$-nel párhuzamos, tehát a vektor:

$\displaystyle \Delta\boldsymbol{p}_x=\Delta p_x\boldsymbol{n}=\frac{Sd^2}{c}(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x)\boldsymbol{n}\Delta t.$

Ennek a vektornak a lapra merőleges komponense

$\displaystyle \Delta p_{x\perp}=\Delta\boldsymbol{p}_x\boldsymbol{e}_x=\frac{Sd^2}{c}(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x)^2\Delta t$

nagyságú, és az iránya $\displaystyle \boldsymbol{e}_x$-szel párhuzamos, tehát a vektor:

$\displaystyle \Delta\boldsymbol{p}_{x\perp}=\Delta p_{x\perp}\boldsymbol{e}_x=\frac{Sd^2}{c}(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x)^2\boldsymbol{e}_x\Delta t,$

Az ebből származó erőhatás:

$\displaystyle \boldsymbol{F}_x=\frac{2\Delta\boldsymbol{p}_{x\perp}}{\Delta t}=\frac{2Sd^2}{c}(\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_x)^2\boldsymbol{e}_x.$

A (3) kifejezésben a szögletes zárójelben szereplő három tag egymásra páronként merőleges, így az erő nagysága a Pitagorasz-tétel segítségével kifejezhető:

majd a gyök alatti kifejezésből egy teljes négyzetet kiemelve felülről becsülhető:

$\displaystyle F=\frac{2Sd^2}{c}\sqrt{\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)^2-2n_x^2n_y^2-2n_y^2n_z^2-2n_z^2n_x^2}\leq\frac{2Sd^2}{c}\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)=\frac{2Sd^2}{c}.$

Látható, hogy az erő akkor lesz maximális, ha az $\displaystyle n_x$, $\displaystyle n_y$ és $\displaystyle n_z$ komponensek közül kettő zérus, tehát akkor, ha a kockát az egyik élével párhuzamosan (azaz az egyik lapjára merőlegesen) világítjuk meg. A maximális erő ebben az esetben:

$\displaystyle F_\mathrm{max\,2}=\frac{2Sd^2}{c}.$

Ezt a (2) kifejezéssel összevetve látható, hogy ezüstözött kocka esetén $\displaystyle \tfrac{2}{\sqrt{3}}$-szor nagyobb erőhatás hozható létre, mint a kormozott esetben.

Megjegyzések. 1. Észrevehetjük, hogy az a) esetben, akkor maximális ar erő, ha a fénynyaláb irányából nézve a lehető legnagyobb keresztmetszetűnek látjuk a kockát – hiszen a fény a beesés irányától függetlenül elnyelődik. Ez akkor valósul meg, ha a kockát egyik testátlójával párhuzamos irányból nézzük – a levezetéssel éppen ezt bizonyítottuk –, ilyenkor a kocka szabályos hatszög alakúnak látszik, (A hatszög oldalhosszúsága $\displaystyle a=\sqrt{\tfrac{2}{3}}d$, területe $\displaystyle T=\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}d^2$.)

A b) esetben viszont – érdekes módon – éppen akkor maximális az erő, amikor a keresztmetszet a legkisebb, viszont ebben a helyzetben a fény merőlegesen verődik vissza, és így impulzusváltozás maximális.

2. A minimális erő az a) esetben nyilvánvalóan akkor lép fel, ha a fénynyaláb irányából nézve a lehető legkisebb keresztmetszetűnek látjuk a kockát. Ez akkor valósul meg, ha a fénynyaláb a kocka egyik élével pérhuzamos (egyik lapjára merőleges), és ilyenkor az erő nagysága:

$\displaystyle F_{min\,1}=\frac{Sd^2}{c}.$

A b) esetben viszont érdekes módon akkor lesz minimális az erő, ha ez a terület maximális, azaz a fénynyaláb az egyik testátlóval párhuzamosan érkezik. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a (4) kifejezést a négyzetes és számtani közepek közti egyenlőtlenséget felhasználva átalakítjuk:

$\displaystyle F=\frac{2Sd^2}{c}\sqrt{n_x^4+n_y^4+n_z^4}=\frac{2\sqrt{3}Sd^2}{c}\sqrt{\frac{(n_x^2)^2+(n_y^2)^2+(n_z^2)^2}{3}}\geq\frac{2\sqrt{3}Sd^2}{c}\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{3}=\frac{2Sd^2}{\sqrt{3}c}.$

Ebből láthatjuk, hogy a kifejezés valóban akkor lesz minimális, ha $\displaystyle n_x=n_y=n_z$, a minimum értéke pedig

$\displaystyle F_{min\,2}=\frac{2Sd^2}{\sqrt{3}c}.$

Látható, hogy a maximumokhoz hasonlóan a minimumok esetében is $\displaystyle \tfrac{2}{\sqrt{3}}$-szor nagyobb az erő az ezüstözött kocka esetében.

Statisztika:

A P. 5633. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. februári fizika feladatai