A P. 5636. feladat (2025. március)

P. 5636. Egy űrszonda a Föld $\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}$-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest $\displaystyle nv$ sebességgel ($\displaystyle n<1$) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.

a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?

b) Mekkora lehet $\displaystyle n$, hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?

(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket.)

Almár Iván feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az űrszonda azután, hogy valamennyire eltávolodott a Földtől, Kepler I. törvénye szerint Nap körüli ellipszis pályára áll. Naphoz képesti sebessége

lesz, ami az $\displaystyle n<1$ feltétel miatt a Földével egyező irányú, de annál kisebb. Mivel a sebesség itt merőleges a Naphoz húzott vezérsugárra, ebben a pontban lesz a pálya aphéliuma, amit jelöljünk $\displaystyle A$-val. Az $\displaystyle A$-hoz húzott vezérsugár a Föld $\displaystyle R$ pályasugarával egyenlő: $\displaystyle r_a=R=1\,\mathrm{CSE}$. Keressük meg a $\displaystyle P$ perihéliumhoz tartozó $\displaystyle r_p$ távolságot. Ehhez írjuk fel az energia és a perdület megmaradását a két pontban:

ahol $\displaystyle M$ a Nap, $\displaystyle m$ a szonda tömege, és $\displaystyle \gamma$ a gravitációs állandó. Az egyenletrendszer két ismeretlenje $\displaystyle r_p$ és $\displaystyle v_p$. A (2) egyenlet a pálya bármely két pontjára igaz, a (3) viszont csak $\displaystyle A$-ban és $\displaystyle P$-ben (mert a perdület kifejezésében általában szerepel szorzóként a sebesség és a vezérsugár bezárt szögének szinusza). Egyszerűsítsük mindkét egyenletet $\displaystyle m$-mel, és az előbbiben rendezzük a hasonló tagokat egy oldalra:

(4)-be helyettesítsük be az (5)-ből kifejezett $\displaystyle r_p=r_a\tfrac{v_a}{v_p}$-t, valamint a Föld pályájából felírható $\displaystyle M\gamma=r_av^2$ összefüggést:

$\displaystyle \frac{1}{2}(v_p^2-v_a^2)=r_av^2\left(\frac{v_p}{r_av_a}-\frac{1}{r_a}\right)=\frac{v^2}{v_a}(v_p-v_a).$

Ez másodfokú egyenlet $\displaystyle v_p$-re, amelynek egyik, triviális gyöke a $\displaystyle v_p=v_a$. Mivel mi a másikat keressük, oszthatunk $\displaystyle (v_p-v_a)$-val:

$\displaystyle v_p+v_a=\frac{2v^2}{v_a}.$

A perihéliumbeli sebesség tehát:

$\displaystyle v_p=\frac{2v^2}{v_a}-v_a=\frac{2-(1-n)^2}{1-n}v,$

ahol behelyettesítettük $\displaystyle v_a$ (1)-gyel megadott értékét. Ezt és (1)-et visszahelyettesítve (5)-be megkapjuk a Nap perihéliumbeli távolságát:

a) (6) ismeretében már könnyen felírhatjuk a szonda pályájának nagytengelyét:

$\displaystyle r_a+r_p=R+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}\,\mathrm{CSE}$

és pálya numerikus excentricitását:

$\displaystyle e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=\frac{1-\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}{1+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}=n(2-n).$

b) A szonda pályája akkor éri el a Nap felszínét, ha $\displaystyle r_p\le R_\mathrm{Nap}$. A legkisebb $\displaystyle n$-re, amivel el lehet érni a Nap felszínét, a (6) összefüggést felhasználva következő egyenletet írhatjuk fel:

$\displaystyle \frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}=\frac{r_p}{R}=\frac{6{,}96\cdot 10^5\,\mathrm{km}}{149{,}6\cdot 10^6\,\mathrm{km}}=0{,}00465.$

Ennek megoldása:

$\displaystyle 1-n=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}00465}{1+0{,}00465}}=0{,}0962,\qquad n=0{,}904.$

Ennél az $\displaystyle n$ értéknél a szonda pályája érinti, a $\displaystyle 0{,}904<n<1$ tartományban (feladat feltételei szerint $\displaystyle n<1$) pedig metszi a Nap felszínét.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk.
4 pontot kapott:	Gyenes Károly, Kis Boglárka 08.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai