A P. 5637. feladat (2025. március)

P. 5637. Egy hűtőláda belső terének hőkapacitása $\displaystyle 4\cdot 10^5~\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$, hőmérsékletét a $\displaystyle 20~{}^\circ\mathrm{C}$-os szobában $\displaystyle (-18\pm 1)~{}^\circ\mathrm{C}$-on szeretnénk tartani. A hűtőgép motorja akkor kapcsol be, ha a belső tér hőmérséklete eléri a $\displaystyle -17\,^\circ\mathrm{C}$ hőmérsékletet. A motor $\displaystyle 15$ perces üzemideje után a belső tér hőmérséklete ismét eléri a $\displaystyle -19~{}^\circ\mathrm{C}$ hőmérsékletet. Legalább mekkora a gép motorjának teljesítménye? (Tegyük fel, hogy a hűtőgép fordított körfolyamattal ideális Carnot-gépként működik.)

Közli: Szász Krisztián, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy Carnot körfolyamat során a rendszer egy $\displaystyle T_1$ hőmérsékletű felső hőtartályból $\displaystyle Q_1$ hőt vesz fel, melynek hasznosításával $\displaystyle W$ munkát végez, miközben a $\displaystyle T_2$ hőmérsékletű alsó hőtartálynak $\displaystyle Q_2=Q_1-W$ hőt ad le. A fordított irányú folyamatban a befektetett munka árán az alsó hőtartályból elvont hő a végzett munkának megfelelő hőenergiával együtt a felső hőtartályban jelenik meg. Mivel az ideális folyamat reverzibilis, a megfelelő mennyiségek nagysága azonos. Az ideális Carnot ciklus hatásfoka

$\displaystyle \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},$

amiből

$\displaystyle W=Q_1-Q_2=\frac{T_1-T_2}{T_2}Q_2.$

Esetünkben egy lehűtési szakasz alatt a hűtendő tér (,,alsó hőtartály'') hőmérséklete változik, azaz a folyamat során ugyanannyi hő elvonásához változó mennyiségű munkát kell befektetnünk, de mivel a hőmérséklet változás kicsiny, jó közelítéssel számolhatunk a $\displaystyle T_2=-18\,^{\circ}\mathrm{C}=255\,\mathrm{K}$ átlagos értékkel. Felső hőtartálynak a környezetet tekintjük, azaz $\displaystyle T_1=20\,^{\circ}\mathrm{C}=293\,\mathrm{K}$-ot veszünk. Ennek megfelelően

$\displaystyle W=0{,}15\,Q_2.$

Egy 15 perces, azaz $\displaystyle 900\,\mathrm{s}$ hosszú hűtési szakasz alatt az elvonandó hő $\displaystyle Q_2=4\cdot 10^5\,\mathrm{\tfrac{J}{K}}\cdot 2\,\mathrm{K}=8\cdot 10^5\,\mathrm{J}$, tehát $\displaystyle W=1{,}2\cdot 10^5\,\mathrm{J}$, ami $\displaystyle P=133\,\mathrm{W}$ motor teljesítményt jelent.

Megjegyzések. 1. A körfolyamatban résztvevő hűtőközeg számára a felső hőmérséklet valójában a hűtőgép hűtőrácsának a hőmérséklete, ez azonban működéskor mindig a környezet fölé melegszik, hogy a kialakuló hőmérséklet különbség biztosítsa a rácson a hőleadást. Hasonló módon a hűtőteret körülvevő csőhálózat hőmérséklete, azaz a hűtőközeg számára az alsó hőmérséklet alacsonyabb, mint a hűtőtéré. (Ennek is köszönhető, hogy a belső tér nem egyenletes hőmérsékletű, ahogy az a jegesedés nem egyenletes voltából is látszik.) Mindkét hatás a fent kiszámított értéknél nagyobb teljesítményt tesz szükségessé.

2. A láda belseje és a környezet közötti hővezetést elhanyagoljuk a lehűtési szakaszban.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Bor Noémi, Csiszár András, Klement Tamás, Masa Barnabás, Misik Balázs, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Sipos Márton, Tóth Bertalan, Zámbó Luca.
3 pontot kapott:	Hornok Máté, Kávai Ádám, Molnár Lili, Sütő Áron, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai