A P. 5641. feladat (2025. március)

P. 5641. A pozitív töltésű pionok $\displaystyle M=139{,}57~\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}$ (nyugalmi) tömegű instabil részecskék. A bomlásuk során leggyakrabban egy $\displaystyle m=105{,}66~\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}$ tömegű müon és egy nulla (vagy elhanyagolhatóan kicsi) tömegű neutrínó keletkezik.

Az egyik bomlásnál egy elhanyagolhatóan kicsiny impulzusú, állónak tekinthető müon keletkezett. Mekkora volt a bomlás előtt a pion mozgási energiája és a sebessége?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a pion impulzusát $\displaystyle p$. Ugyanennyi a neutrínó impulzusa is, hiszen a keletkezett müon áll, impulzusa nulla.

A relativisztikus összenergia és az impulzus közötti összefüggés a pionra:

$\displaystyle E=\sqrt{\left(Mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2},$

ahol $\displaystyle c$ a fénysebesség vákuumban.

Célszerű, ha a továbbiakban nem az SI, hanem a részecskefizikában szokásos $\displaystyle c=1$ egységrendszert használjuk. (Az SI rendszerre a dimenziókat figyelve térhetünk vissza.) Ebben a rendszerben tehát MeV/$\displaystyle c^2$ helyett MeV-et írhatunk, és az energia-impulzus ,,diszperziós reláció'' így néz ki:

$\displaystyle E_\textrm{pion}=\sqrt{M^2+p^2},\qquad E_\textrm{müon}=m\qquad\textrm{és}\qquad E_\textrm{neutrínó}=p.$

A bomlásra érvényes a relativisztikus energiamegmaradás törvénye:

$\displaystyle \sqrt{M^2+p^2}=m+p,$

ahonnan algebrai átalakítások után

$\displaystyle p=\frac{M^2-m^2}{2m}$

következik, és innen kapjuk, hogy

$\displaystyle E_\textrm{pion}=\frac{M^2+m^2}{2m},$

a pion mozgási energiája pedig

$\displaystyle E^\textrm{mozgási}=E_\textrm{pion}-M=\frac{(M-m)^2}{2m}.$

A pion sebessége

$\displaystyle v=\frac{p}{E_\textrm{pion}}=\frac{M^2-m^2}{M^2+m^2}.$

Az ismert tömegadatok behelyettesítése és a dimenziók helyreállítása után kapjuk, hogy

$\displaystyle E_\textrm{pion}=145{,}0\,\mathrm{MeV},\qquad E^\textrm{mozgási}=5{,}44\,\mathrm{MeV},$

továbbá

$\displaystyle v=0{,}27\,c\approx 81\,000\,\mathrm{\frac{km}{s}}.$

Statisztika:

A P. 5641. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai