Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


K. 609. Hány óra van most, ha 50 perccel ezelőtt négyszer annyi perccel múlt 3 óra, mint amennyi még 6 óráig hátravan? (Ugyanazon a délutánon értve az időpontokat.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 610. Három méter magasra vezető 1 méter széles tömör beton lépcsőt kell építenünk, egyforma magas lépcsőfokokkal. Minden lépcsőfoknak van egy magassága (\(\displaystyle m\)), és egy úgynevezett lépésmélysége (\(\displaystyle l\)), ahogy az ábra mutatja. A lépcsőfokoknál előírás, hogy \(\displaystyle 2m+l=64\) cm, valamint hogy a lépcsőfok ne legyen magasabb, mint amekkora a lépésmélysége. Legkevesebb hány lépcsőfokra lesz szükség? Mennyi betonra lesz szükség a minimális darabszámú lépcsőfokból álló lépcsőhöz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 611. Párokba lehet-e rendezni 1-től 50-ig az egész számokat úgy, hogy minden párban a számok összege más-más prímszám legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 612. Keressük meg az összes olyan pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, melyre \(\displaystyle n + 125\) és \(\displaystyle n + 201\) is négyzetszám.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 613. Egy táblára ketten felváltva felírnak egy-egy 10-nél nem nagyobb pozitív egész számot. A szabály szerint olyan számot nem lehet felírni, amely a táblára már felírt számok valamelyikének osztója. Aki nem tud új számot felírni, veszít. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Javasolta: Loránt László

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


C. 1518. Hány olyan \(\displaystyle 13\)-jegyű pozitív egész szám van, ami csak a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\) számjegyeket tartalmazza, és bármely két szomszédos számjegyének különbsége \(\displaystyle 3\)?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1519. Egy háromszög két oldalának hossza \(\displaystyle 31\) és \(\displaystyle 22\), a hozzájuk tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Mekkora a harmadik oldal?

(5 pont)

megoldás


C. 1520. Határozzuk meg a \(\displaystyle 2^{2019}+2019^2\) szám utolsó két számjegyét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1521. Az \(\displaystyle O\) középpontú kört \(\displaystyle E\)-ben belülről érinti egy feleakkora sugarú kör. Egy \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes a nagy kört \(\displaystyle P\)-ben, a kis kört pedig az \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle R\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \widehat{EP}\) és az \(\displaystyle \widehat{ER}\) körív hossza megegyezik.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1522. A pozitív egész számokat három sorba rendezzük a következőképpen:

$$\begin{align*} &1 \ \ 4 \ \ 7 \ \ 10 \ \ 13 \ \ 16\ldots\\ &2 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 11 \ \ 14 \ \ 17\ldots\\ &3 \ \ 6 \ \ 9 \ \ 12 \ \ 15 \ \ 18\ldots \end{align*}$$

Igazoljuk, hogy mindhárom sorból kiválasztható egy-egy végtelen mértani sorozat.

(5 pont)

megoldás


C. 1523. Egy konvex négyszöget az átlóival háromszögekre bontunk. Mutassuk meg, hogy ha a négy háromszög területei között pontosan háromféle érték fordul elő, akkor a négyszög trapéz.

(5 pont)

megoldás


C. 1524. Legyenek \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) pozitív egész számok, továbbá \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) különböző prímszámok. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle N+M\) ötjegyű, \(\displaystyle N\)-nek osztója a \(\displaystyle p\), és osztóinak száma \(\displaystyle q\), ugyanakkor \(\displaystyle M\) osztható \(\displaystyle q\)-val, és osztóinak száma \(\displaystyle p\). Határozzuk meg \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) lehetséges értékeit.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


B. 4998. Az általános iskolai Logikai Készlet \(\displaystyle 48\) műanyag lapocskából áll. A lapokat négy jellemző tulajdonság írja le: egy-egy elem mérete lehet kicsi vagy nagy; lehet sima vagy lyukas; a színe piros, sárga, kék vagy zöld; alakja kör, négyzet vagy háromszög. A tulajdonságok minden lehetséges kombinációja (pl. kicsi kék lyukas kör) pontosan egy lapocskára igaz. Hány olyan \(\displaystyle x\) eleme van a készletnek, amelyhez található a készletnek olyan \(\displaystyle y\) eleme, amelyre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül?

1. Ha \(\displaystyle x\) sima vagy piros, akkor \(\displaystyle y\) kicsi sárga négyzet.

2. Ha \(\displaystyle y\) kicsi vagy kék, akkor \(\displaystyle x\) zöld háromszög, vagy pedig valamilyen sima alakzat.

ELTE TTK elsőéves analízis zárthelyi dolgozat alapján

(4 pont)

megoldás


B. 4999. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), érintési pontjai \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), hozzáírt köreinek érintési pontjai \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\) az ábra szerint. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OA_1 A_2\), \(\displaystyle OB_1 B_2\) és \(\displaystyle OC_1 C_2\) háromszögek közül valamelyiknek a területe egyenlő a másik két háromszög területének összegével.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5000. Adott \(\displaystyle 4999\) különböző egész szám, az egyik a \(\displaystyle 42\). Igazoljuk, hogy kiválasztható közülük néhány, amelyek összege osztható \(\displaystyle 5000\)-rel.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5001. Egy egyenlő szárú háromszög alapja \(\displaystyle a\), szárszöge \(\displaystyle 120^{\circ}\)-nál kisebb, az alaphoz tartozó magassága \(\displaystyle m\). A háromszög mindegyik csúcsát tükrözzük a szemközti oldalegyenesre. A három kapott pont egy másik egyenlő szárú háromszöget alkot, amelynek alapja \(\displaystyle a'\), alaphoz tartozó magassága pedig \(\displaystyle m'\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{a'}{a}+\frac{m'}{m}=4. \)

Javasolta: Bártfai Pál (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5002. Az \(\displaystyle x^3 +a x^2 + bx + c\) harmadfokú polinom grafikonja a különböző \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle P_3\), \(\displaystyle P_4\), \(\displaystyle P_5\), \(\displaystyle P_6\) pontokban metszi az origó középpontú, \(\displaystyle 10\) egység sugarú kört. Fejezzük ki a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle P_3\), \(\displaystyle P_4\), \(\displaystyle P_5\), \(\displaystyle P_6\) pontrendszer súlypontjának koordinátáit az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) együtthatókkal.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5003. Igaz-e, hogy ha egy tetraéder hat élfelezőpontja közül öt illeszkedik egy gömbre, akkor a hatodik élfelezőpont is illeszkedik ugyanerre a gömbre?

(5 pont)

megoldás


B. 5004. \(\displaystyle 2n\) egymást követő egész szám között legfeljebb hány olyan lehet, amely osztható az \(\displaystyle n+1\), \(\displaystyle n+2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2n\) számok közül legalább az egyikkel?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5005. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságvonalainak talppontja a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Jelölje az \(\displaystyle AB\), mint átmérő fölé rajzolt kört \(\displaystyle k_1\), a \(\displaystyle DEM\) háromszög körülírt körét \(\displaystyle k_2\). Vegyük föl a \(\displaystyle k_2\) körnek a \(\displaystyle D\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle EM\) ívén az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle M\) pontoktól különböző \(\displaystyle P\) pontot. Messe a \(\displaystyle DP\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) kört másodszor a \(\displaystyle Q\) pontban, és legyen a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AQ\), \(\displaystyle MP\), \(\displaystyle FR\) egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


A. 740. Egy \(\displaystyle k\times k\)-as számtáblázatban az \(\displaystyle 1,2,\ldots,m\) számok pontosan egyszer szerepelnek, míg a maradék helyen \(\displaystyle 0\) áll. Tegyük fel, hogy az összes sorösszeg és oszlopösszeg azonos. Legalább mekkora \(\displaystyle m\) értéke, ha \(\displaystyle k=3^n\) (\(\displaystyle n\in\mathbb{N^+}\))?

Javasolta: Sztranyák Attila és Erben Péter,
a 2017. évi Kalmár-verseny feladata alapján

(7 pont)

statisztika


A. 741. Legyen \(\displaystyle f\) olyan pozitív egészeken értelmezett függvény, melyre \(\displaystyle f(n)\ge 0\) és \(\displaystyle f(n)\le f(n+1)\) minden \(\displaystyle n\)-re. Igazoljuk, hogy ha

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^2} \)

divergens, akkor létezik olyan \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\) sorozat, amelyre \(\displaystyle \frac{a_n}{n}\) felvesz minden racionális számot értékként, míg

\(\displaystyle a_{n+m}\le a_n+a_m+f(n+m) \)

teljesül minden \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) párra.

Schweitzer-feladat nyomán

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 742. Az \(\displaystyle \Omega\) körbe írt \(\displaystyle ABCD\) konvex húrnégyszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalegyenesei az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. Legyen \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) a többi csúcsot nem tartalmazó \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle CD\) körívek felezőpontja, továbbá legyen \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\), és \(\displaystyle L\) rendre az \(\displaystyle ABD\), a \(\displaystyle ABC\), a \(\displaystyle BCD\), illetve a \(\displaystyle CDA\) háromszögbe írt kör középpontja. Messe \(\displaystyle \Omega\) az \(\displaystyle IJM\) és \(\displaystyle KLN\) köröket másodszor az \(\displaystyle U\ne M\), illetve a \(\displaystyle V\ne N\) pontban. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesre illeszkednek.

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)