A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

---

K. 784. Helyettesítsük be a \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 9\)-ig terjedő számjegyeket egy kivételével az alábbi betűk helyére úgy, hogy a kialakuló, két háromjegyű szám különbségeként kapott eredmény a lehető legközelebb legyen a \(\displaystyle 300\)-hoz:

\(\displaystyle ABC - DEF = GHJ. \)

Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle 300\)-tól lehető legkisebb különbséggel eltérő eredmény csak egyféleképpen hozható létre. (Különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 785. Három kereskedő, Ali, Szelim és Kháfim boltjában egy hordó olajbogyót ugyanazon az áron lehetett kapni június elején. Ali felemelte az árat 10%-kal, majd ismét 10%-kal, majd szeptember elejére 20%-kal csökkentette. Szelim felemelte az árat 20%-kal, majd 10%-kal csökkentette, és szeptember elejére ismét 10%-kal csökkentette. Kháfim felemelte az árat 20%-kal, majd szeptember elejére csökkentette 20%-kal. Tudjuk, hogy Ali szeptember elején 4 dénárral olcsóbban adott egy hordó olajbogyót, mint Szelim. Mennyibe került Kháfim boltjában szeptember elején egy hordó olajbogyó?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 786. Jelölje \(\displaystyle X\) az első \(\displaystyle 50\) pozitív egész szám négyzetének összegét. Adjuk meg \(\displaystyle X\) segítségével az első \(\displaystyle 50\) pozitív páros szám négyzetének összegét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

---

K/C. 787. Hány metszéspontja lehet egy konvex tizenhatszög átlóinak, ha a metszéspontok mind különbözőek?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 788. Egy sorozatban \(\displaystyle a_1=2\), \(\displaystyle a_{n+1} = a_n + 2n\). Határozzuk meg \(\displaystyle a_{100}\) értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

---

C. 1783. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) olyan pozitív egész számok, amelyekre az \(\displaystyle \left]\frac{a}{b};\frac{c}{d}\right[\) intervallum tartalmazza a \(\displaystyle 1\)-et. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c+1}{b+d+1}<\frac{c}{d}. \)

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1784. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög rövidebbik befogója egységnyi hosszúságú. A derékszögű csúcsból az \(\displaystyle AB\) átfogóra bocsátott magasság a hegyesszögek szögfelezőivel olyan \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle \varepsilon\) szögeket zár be, amelyekre

\(\displaystyle \frac{\varphi}{\varepsilon}=\frac{4}{5}. \)

Határozzuk meg a háromszög szögeit és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1785. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle (x;y)\) valós számpárt, amely megoldása a

\(\displaystyle \frac{10}{1+|x|}+y=4;\quad \frac{10}{1+|y|}+x=4 \)

egyenletrendszernek.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1786. Mennyi annak a valószínűsége, hogy öt szabályos dobótetraédert egyszerre dobva, a dobott számok lehetnének egy ötcsúcsú fagráf fokszámai?

Javasolta: Kovács Bence (Szombathely)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1787. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle M\) magasságponton keresztül párhuzamost húzunk az \(\displaystyle AB\) oldallal, amely az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalakat a \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\) pontban metszi. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének egyik átmérője a \(\displaystyle CC_1\) szakasz. Számítsuk ki a \(\displaystyle DEC_1\) háromszög kerületét, ha \(\displaystyle AB=14\).

(A Kvant nyomán)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

---

B. 5342. Vegyünk négy másodszomszédos egész számot és képezzük összes lehetséges módon a páronkénti szorzataikat. Mutassuk meg, hogy ezek összege nem lehet négyzetszám.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5343. Határozzuk meg, hogy az

$$\begin{align*} A & = 1! - 2! + 3! - 4! + \ldots + 2021! - 2022! + 2023! \quad\text{és}\\ B & =(1-2+3-4+\ldots+2021-2022+2023)! \end{align*}$$

számok közül melyik a nagyobb.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5344. Anti és Bandi Balatonmáriafürdőről szeretnének az onnan 30 km-re lévő Balatonlellére eljutni részben futva, részben biciklizve. Egyszerre indulnak, csak egyetlen biciklijük van. Anti 30 km/h sebességgel biciklizik és 15 km/h sebességgel fut. Bandi 20 km/h sebességgel biciklizik és 12 km/h sebességgel fut. Legalább hány percre van szükségük ahhoz, hogy mindketten odaérjenek? (Az út során akárhányszor cserélhetik, ki ül a biciklin, amely az út bármely pontján le is tehető.)

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5345. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben a beírt kör és a Feuerbach-kör koncentrikus, akkor a háromszög szabályos.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5346. Mely \(\displaystyle n\)-ekre létezik olyan \(\displaystyle n\)-szög, amelynek oldalai egyenlő hosszúak, és minden oldala pontosan két másik oldalával párhuzamos?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5347. Igazoljuk, hogy ha egy pozitív racionális \(\displaystyle r\) számra \(\displaystyle r^r\) is racionális, akkor \(\displaystyle r\) egész.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5348. Legyenek \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle n\) nemnegatív egészek, melyekre \(\displaystyle 0\le c\le b-2n\) teljesül. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sum_{a=0}^n \binom{2a}{a}\binom{b-2a}{n-a} = \sum_{a=0}^n \binom{2a+c}{a}\binom{b-c-2a}{n-a}. \)

Javasolta: Tóthmérész Lilla (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5349. A \(\displaystyle P\) paralelepipedon minden éle legfeljebb egységnyi. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy van olyan csúcsa \(\displaystyle P\)-nek, ami \(\displaystyle X\)-től legfeljebb \(\displaystyle \sqrt 3 /2\) távolságra van.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

---

A. 863. Legyen adott egy \(\displaystyle n\ge 2\) egész szám. Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle N\), ha tudjuk, hogy végtelen sokféleképpen választható ki \(\displaystyle N\) egymást követő egész szám úgy, hogy egyiknek se legyen 1-nél nagyobb \(\displaystyle n\)-edik hatvány osztója?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 864. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy tetszőleges háromszög, \(\displaystyle O\) pedig a körülírt körének a középpontja. Legyen \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontja a \(\displaystyle BC\), a \(\displaystyle CA\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldalon. Legyen \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja. Legyen \(\displaystyle M'\), illetve \(\displaystyle N'\) az \(\displaystyle M\), illetve az \(\displaystyle N\) tükörképe a \(\displaystyle DE\), illetve a \(\displaystyle DF\) egyenesre. A \(\displaystyle CM'\), illetve a \(\displaystyle BN'\) egyenes a \(\displaystyle DE\), illetve a \(\displaystyle DF\) egyenest messe a \(\displaystyle H\), illetve a \(\displaystyle J\) pontban.

Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle H\), \(\displaystyle J\) és \(\displaystyle O\) egy egyenesre esik.

Javasolta: Luu Dong (Vietnám)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 865. Keresztrejtvénynek nevezünk egy fekete és fehér négyzetekből álló négyzetrácsot, melyben minden fehér mezőhöz található egy őt tartalmazó \(\displaystyle {2\times 2}\)-es része a táblázatnak, amely csak fehér mezőkből áll. Szónak nevezzük a táblázat egy sorában vagy oszlopában található, csak fehér mezőkből (legalább kettőből) álló részét a táblázatnak, melyet mindkét végén fekete mező vagy a tábla széle határol.

Bizonyítsuk be, hogy egy \(\displaystyle n\times n\)-es keresztrejtvényben nem lehet több szó, mint \(\displaystyle \frac{{(n+1)}^2}{2}\).

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)

megoldás, statisztika