Fórum: Valaki mondja meg!

1.kérdés

Gondolom a kérdés a \(\displaystyle \mod n\) redukált maradékosztályok csoportjára vonatkozik, mert ott szokás primitív gyökről beszélni. Ismert, hogy primitív gyök \(\displaystyle \mod n\) \(\displaystyle n=2,4\), \(\displaystyle n=p^\alpha\), \(\displaystyle n=2p^\alpha\) ( p>2 prím) esetén létezik.

Ha n=2, akkor csak az 1 primitív gyök és \(\displaystyle 1\cdot1=1\) miatt igaz az állítás.

Ha n=4, akkor csak a 3 primív gyök, de \(\displaystyle 3\cdot3=1\) miatt nem igaz az állítás

Ha p>2 prím, akkor a csoport rendjére \(\displaystyle \varphi(n)=\varphi(p^\alpha)\) vagy \(\displaystyle \varphi(n)=\varphi(2p^\alpha)\) teljesül, ami mindkét esetben páros. De ha \(\displaystyle g\) primitív gyök, akkor \(\displaystyle g^k\) (k pozitív egész) pontosan akkor lehet primítív gyök, ha \(\displaystyle (k,\varphi(n))=1\). Tehát k csak páratlan lehet. Így két primítív gyök szorzata \(\displaystyle g\) páros kitevős hatványa, ami viszont nem relatív prím \(\displaystyle \varphi(n)\)-hez, így nem lehet primitív gyök.

Egyébként a fenti gondolatmenet átvihető tetszőleges 2-nél nagyobb páros rendű ciklikus csoportra ti. két generáló elem szorzata nem generáló elem. Páratlan rendű ciklikus csoportban igaz lehet az állítás, pld ha \(\displaystyle a\) generáló elem, \(\displaystyle a\cdot a=a^2\) is generáló elem.

2-ik kerdesre: Ebben az 5.15 es 5.16.-os tetel es az \(\displaystyle a_n=2^{-\lfloor n/2\rfloor}\) sorozat (angol wikipedia gyokkriteriumos oldalarol szedve, mert lusta vagyok gondolkodni :) ).

A következő kérdések megválaszolásaban kérek segítséget:

-Lehet-e egy csoportban két primitív gyök szorzata primitív gyök?

-Van-e olyan sor, amelyről hányadoskritériummal el lehet dönteni, hogy konvergens vagy divergens, de gyökkritériummal nem lehet eldönteni? Van-e olyan sor, amelyről gyökkritériummal el lehet dönteni, hogy konvergens vagy divergens, de hányadoskritériummal nem lehet eldönteni?

Előre is köszönök minden segítséget.

jav:

> akkor C kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák

Helyett: akkor C \(\displaystyle a'_i C b'_j\) alakú kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák

2. Legyen inkább \(\displaystyle A,B \leq G\), és \(\displaystyle C = A \cap B\), és akkor nem kell alsóindexezni.

A feladat valami olyasmit mond, hogy ha \(\displaystyle A, B \leq G\), akkor ha \(\displaystyle A B = \{a_ib_j\}_{i,j}\)-ben elemek egybeesnek, akkor az látszik már \(\displaystyle A \cap B\)-ben is. Egy szép álom, hogy ha naivan megszámolod \(\displaystyle A B\) elemeit, akkor mindent \(\displaystyle |A \cap B|\)-szer számolsz. Gondolok itt: legyen \(\displaystyle a_1 b_1 \in AB\) rögzített, hány \(\displaystyle a_2 b_2\) van, hogy \(\displaystyle a_1 b_1 = a_2 b_2\)? Mivel \(\displaystyle {a_2}^{-1}a_1 = b_2{b_1}^{-1} \in C\), eleve maximum C darab \(\displaystyle a_2\) jön szóba..

.. egy másik megközelítés, hogy ha \(\displaystyle A'\) a \(\displaystyle C \leq A\) mellékosztályainak reprezentánsaiból áll, \(\displaystyle |A'| = |A|/|C|\), hasonlóan \(\displaystyle B'\), akkor \(\displaystyle C\) kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák \(\displaystyle A B\)-t. Azt könnyű látni, hogy \(\displaystyle AB = A' C B'\) : tartalmazzák egymást. És akkor azt kell belátni hogy két ilyen kétoldali mellékosztály nem esik egybe egyáltalán: \(\displaystyle a'_1 c_1 b'_1 = a'_2 c_2 b'_2\) nem lehet. Az meg nem nehéz, hogy \(\displaystyle {a'_2}^{-1}a'_1\) pontosan akkor \(\displaystyle C\)-beli, ha \(\displaystyle a'_1 C = a'_2 C\), azaz ugyanazt a mellékosztályt reprezentálják. Ebből a megoldásból nem látszik, hogy \(\displaystyle AB\) összeesik, vagy bármi ilyesmi.

1-re:

Ha a K részhalmaz a \(\displaystyle H\subseteq G\) részcsoport bal oldali mellékosztálya és \(\displaystyle g\in K\) egy rögzített reprezentáns elem, akkor a feltétel szerint \(\displaystyle gH=K\).

Legyen \(\displaystyle H'=\{ghg^{-1}: h\in H\}\).

Azt állítjuk, hogy \(\displaystyle H'\) részcsoportja G-nek és \(\displaystyle H'g=K\), azaz K egy jobboldali mellékosztály H'-re.

1. H' zárt a szorzásra, mert tetszőleges \(\displaystyle h_1,h_2\in H\) esetén

\(\displaystyle (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1})=g(h_1h_2)g^{-1}\in H'\)

2. G "e" egységeleme benn van H'-ben, mert \(\displaystyle e\in H\) miatt

\(\displaystyle e=geg^{-1} \in H'\)

3. H' minden elemének inverze H'-beli, mert tetszőleges \(\displaystyle h\in H\) esetén

\(\displaystyle (ghg^{-1})^{-1}=(g^{-1})^{-1}h^{-1}g^{-1}=gh^{-1}g^{-1} \in H'\)

1.-3. miatt H' részcsoport és |H'|=|H| miatt a H'-höz tartozó minden jobboldali mellékosztály elemszáma megegyezik a H-hoz tartozó baloldali mellékosztályok elemszámával, azaz |K|-val. Végül a \(\displaystyle H'g\) jobboldali mellékosztály minden elemére \(\displaystyle (ghg^{-1})g=gh \in K\), azaz \(\displaystyle H'g=K\)

3.-ra, ha \(\displaystyle G_1=H_1\setminus H_2\) es \(\displaystyle G_2=H_2\setminus H_1\) egyszerre nem uresek, akkor \(\displaystyle u\in G_1\) es \(\displaystyle v\in G_2\) eseten \(\displaystyle u^{-1}\in{H_1}\) es \(\displaystyle v^{-1}\in H_2\), ekkor \(\displaystyle uv\) nem lehet sem \(\displaystyle H_1\)-ben sem \(\displaystyle H_2\)-ben, figyelembe veve, hogy \(\displaystyle u=(uv)v^{-1}\) es \(\displaystyle v=u^{-1}(uv)\)

A következő feladatok megoldásában kérek segítséget:

1. Iagzolja, hogy a \(\displaystyle G\) csoport valamely \(\displaystyle K\) részhalmaza a \(\displaystyle G\) csoport valamelyik részcsoportjának bal oldali mellékosztálya, akkor \(\displaystyle G\)-nek van olyan részcsoportja, amelynek ez a \(\displaystyle K\) jobb oldali mellékosztálya.

2. Igazolja, hogy ha \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\) a \(\displaystyle G\) csoport részcsoportjai, akkor \(\displaystyle |H_1*H_2|=\frac{|H_1|*|H_2|}{|H_1\cap H_2|}\)

3. Igazolja, hogy bármely \(\displaystyle G\) csoportra, és annak bármely \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\) részcsoportjára \(\displaystyle H_1\cup H_2\) pontosan akkor részcsoport, ha \(\displaystyle H_1\subseteq H_2\), vagy \(\displaystyle H_2\subseteq H_1\).

Előre is köszönöm mindenki segítségét.

Maximum weight matching a wikipedian, es ott is van a Blossom algorithm alul, Edmonds-tol. Ilyen kerdeseknel erdemes megkeresni, hogy mi az angol megfeleloje a problemakornek az absztrakcios lepes utan (ie. minimalis osszsulyu pariositast keresunk egy sulyozott grafban), onnettol meg altalaban meg is van a tetel neve par perc alatt.

Egy országban 128 város csapata nevezett egy kupasorozatra. Ismertek a városok közti utazási távolságok. Hogyan kell párokat készíteni a 128 csapatból, hogy az össz utazási távolság minimális legyen? (gyors algoritmus) Mindenki segítségét előre is köszönöm.

Ismert, hogy hogyan lehet meghatározni egy háromszögbe írt Malfatti-körök sugarait. De hogyan lehet meghatározni egy háromszög egy oldalához írt Malfatti-körök sugarait? Mindenki segítségét köszönöm előre.

15 eve ugyan, de ez is szerepelt mar a pontversenyben: B. 4154. :)

Délben a kör alakú városfal 12 őre napi ellenőrző útjára indul. Mindenki saját őrhelyéről indul az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes irányba, és akkora állandó sebességgel halad, hogy 1 óra alatt tenne meg egy kört. Azonban, ha két őr találkozik, akkor mindketten rögtön megfordulnak, és változatlan sebességgel haladnak tovább. Igazoljuk, hogy éjfélkor minden őr ugyanott lesz, ahonnan délben indult!

A kérdésre adott válasz megfogalmazásához szerintem először tisztáznod kellene, hogy mit értesz "alakzat területe" alatt, de úgy, hogy "az eljárásban NE legyen végtelen sor és NE legyen határérték, és NE legyen differenciálszámítás vagy integrálszámítás, mert hogy ezek nem elemi módszerek". :)

Ha a d) rész annak az esélye, hogy Törpapa és Törpilla ugyanabban az ajándékozási ciklusban szerepelnek, akkor az könnyű.

A c)-re a válasz k-tól függetlenül 1/100 (és n darab törp esetén 1/n), amiből a b), majd az a) is adódik. Bizonyítás pl https://math.ucr.edu/home/baez/permutations/permutations_6.html, a lap alján, alulról a második.

Az e) kijön például rekurzívan felírva, az eredmény https://oeis.org/A001818 : "Number of permutations in \(\displaystyle S_{2n}\) in which all cycles have even length".

Aprajafalván a hupikék törpikék megjándékozzák egymást. (Tegyük fel, hogy 100 törp van, köztük Törpapa és Törpilla.) Hogy ki kinek fog ajándékot adni, azt sorsolás útján döntik el: mindenki felírja a nevét egy kis papírra, a papírt beleteszik Törpapa sapkájába, majd mindenki egy cetlit húz a sapkából. Minden törp azt a törpöt ajándékozza meg, akinek a nevét húzta. Így könnyen előfordulhat, hogy valaki a saját nevét húzta, ebben az esetben az illető törp saját magának készít ajándékot.

a.) Az összes ajándékozási lehetőséget tekintve hány ajándékozási ciklus van az 1 hosszú ciklusokat is beleértve?

b.) Az összes ajándékozási lehetőséget tekintve hány "k" hosszú ajándékozási ciklus van?

c.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Törpapa egy "k" hosszú ajándékozási ciklusban szerepel?

d.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Törpapa és Törpilla az ajándékozási ciklusban szerepel?

e.) Hány olyan ajándékozási lehetőség van a 100 törp között, amelyben minden ciklus hossza páros?

Minden segítséget előre is köszönök. BZ.

Erre azért tényleg kíváncsi vagyok most már magam is.

(a határérték felhasználása nélküli megoldásokról az a közismert "bizonyítás" jut eszembe, amely szerint a négyzet átlója az oldalak összegével egyenlő)

És a kör területét?

Köszönöm az eddigi segítségeket. A legutóbbi hsz-omból kimaradt egy "ne". Tehát javítva: Hogyan lehet meghatározni egy parabola alatti területet, hogy az eljárásban NE legyen végtelen sor és NE legyen határérték, és NE legyen differenciálszámítás vagy integrálszámítás, mert hogy ezek nem elemi módszerek.

Ebben a szakdolgozatban (és egyéb helyeken, "téglányösszeg" jeligére) szerintem találsz választ.

Gyanús ugyan, hogy "az eljárásban legyen benne végtelen sor határértéke" kitételedből nem maradt-e ki egy "ne", de kimondott vagy kimondatlan határérték nélkül szerintem a dolog nem megoldható.

A parabola alatti terület kb ugyanaz, mint a gúla térfogata.

A kocka felbontható három egybevágó ferde gúlára.

Parabola alatti területet hogyan lehet meghatározni teljesen elemi módszerekkel, azaz az eljárásban legyen benne végtelen sor határértéke, és ne legyen integrálszámítás? Előre is köszönök minden segítséget.

Érdekelne az is, hogy rendezett állapotból kiindulva, megengedett cseréket végrehajtva, a kártyalapok milyen permutációja érhető el. Előre is köszönöm mindenki segítségét.

Eredeti megfogalmazásomban a következőképpen nézett ki az előbb felvetett probléma, amelyet Kós Géza Tanár Úr átfogalmazott, és a KöMaL-pontversenybe került be: (érdekes matek feladatok, [3668], Kömal, 2013 március, "A" feladatok)

Egy játékot találtam ki. Mivel egy játékkal akkor foglalkoznak sokan, ha szabályai egyszerűek, ugyanakkor nem könnyen végigjátszható, ezért a következő játékot találtam ki:

A magyar kártyacsomag összetétele: A magyar kártyacsomag 32 lapot tartalmaz. Minden lapnak van színe és értéke. A színek lehetnek: „piros” (tavasz), „tök” (nyár), „zöld” (ősz), „makk” (tél). Az értékek lehetnek: „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király”, „ász”. A kártyacsomagban minden lehetséges szín-érték párosítás előfordul.

A nyolc sorból és négy oszlopból álló táblázatban elhelyezett magyar kártyacsomag lapjai akkor vannak rendezett sorrendben, ha a következő feltételek teljesülnek:

• A táblázat minden oszlopában található négy lap színének sorrendje felülről lefelé haladva: „piros” (tavasz), „tök” (nyár), „zöld” (ősz), „makk” (tél).

• A táblázat minden sorában található nyolc lap értékének sorrendje balról jobbra haladva: „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király”, „ász”.

A játék szabálya: A kártyacsomag lapjai véletlenszerű sorrendben egy négy sorból és nyolc oszlopból álló táblázatban vannak elhelyezve. A játék során egyszerre mindig két lapot lehet megcserélni. Két lapot csak akkor lehet megcserélni, ha a két lap ugyanabban a sorban vagy ugyanabban az oszlopban van, továbbá (és) ha a két lap színe vagy értéke ugyanaz. A játék célja, hogy a kártyalapok sorrendje rendezett legyen.

Az érdekes az hogy a véletlenszerűen összekevert állapotból majdnem mindig abba az állapotba jutok, hogy a rendezett állapothoz képest a "makk ász" és a "tök király" fel van cserélve. Sajnos, nem tudok rájönni, hogy ez az én ügyetlenségem (gyanítom, hogy igen), de ugyanakkor nem hiszem hogy ennek törvényszerűen így kell lenni. Arra kérek bárkit, hogy ha ezt a jelenséget meg tudja indokolni, vagy meg tudja oldani (tehát ha a rendezett állapothoz képest csak a "makk ász" és a "tök király" van felcserélve, akkor ez az állapot rendezhető vagy sem), írjon a zoltanbertalan680308@gmail.com címre.

köszönöm