Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Háromszög szerkesztés

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[12] HoA2021-08-05 10:04:21

Az előző hozzászólás második ábrája:

Előzmény: [11] HoA, 2021-08-05 10:01:00
[11] HoA2021-08-05 10:01:00

Egy másik, szintén körsoron alapuló megoldás kínálkozik hihetetlen[7] észrevétele alapján: Az ma magasság egyenesét fa -ra tükrözve a kapott e egyenes átmegy a körülírt k kör középpontján. k tehát eleme annak a parabolikus körsornak, melynek A a pontköre és e a centrálisa, h hatványvonala az e -re A -ban emelt merőleges. A körsornak azt a körét kell megszerkeszteni, amelyik h -nak fa -t tartalmazó oldalán van és az adott BC hosszúságú húrja esik te -re.

Legyen te és h metszéspontja P . Vegyük fel e -n az adott B0C0=BC hosszúságú AR szakaszt. Az AR átmérőjű k kör középpontja S . k a körsor eleme. A PS egyenes és k metszéspontjai T és U. PTPU=PA2. Forgassuk le T -t és U -t P körül te -re. A kapott pontokat véve B -nek és C -nek az ABC háromszög és annak körülírt k köre megfelel: BC=TU=AR=B0C0 az adott oldalhossz, PBPC=PTPU=PA2, k a körsor eleme, középpontja e-n van, ma és e szögfelezője, fa a BAC szöget is felezi.

A második ábra a következő hozzászólásban.

Ujjgyakorlat: Hogyan értelmezhető a körsor h -nak fa - val ellentétes oldalán lévő k2 köre, melyből te szintén BC hosszúságú húrt metsz ki?

[10] HoA2021-07-19 22:41:55

Hát igen. Inverzióra sincs is szükség. Az A0 A pontpárhoz tartozó Apollóniusz körök elliptikus körsort alkotnak, melynek \displaystyle A_0 és \displaystyle A'' a pontkörei, \displaystyle h hatványvonala \displaystyle A_0 \displaystyle A'' felező merőlegese. A keresett \displaystyle BC átmérőjű \displaystyle k körnek a \displaystyle t_e egyenessel párhuzamos, attól BC/2 távolságra levő \displaystyle t_2 egyenes érintője. Jelöljük \displaystyle t_2 és \displaystyle h metszéspontját \displaystyle P -vel, a \displaystyle k és \displaystyle t_2 érintési pontját \displaystyle Q -val. \displaystyle P a hatványvonalon van, a körsor köreire vonatkozó hatványa egyenlő, így az \displaystyle A_0 pontkörre vonatkozó hatványa egyenlő a \displaystyle k -ra vonatkozó hatvánnyal, \displaystyle {PA_0}^2 = {PQ}^2 .

Innen a szerkesztés: A \displaystyle P középpontú \displaystyle PA_0 sugarú körívvel kimetsszük \displaystyle Q -t \displaystyle t_2 -ből. A \displaystyle Q -ból \displaystyle t_e -re bocsátott merőleges talppontja lesz a \displaystyle BC oldal \displaystyle F_a felezőpontja, \displaystyle B -t és \displaystyle C -t az \displaystyle F_a középpontú \displaystyle F_aQ = BC/2 sugarú \displaystyle k kör metszi ki \displaystyle t_e -ből.

Előzmény: [9] Sinobi, 2021-02-17 20:46:58
[9] Sinobi2021-02-17 20:46:58

Na jó. Azon a részen, hogy egy Apollóniuszi körsornak egy adott méretű / egy adott egyenest érintő tagját keressük, lehet jó sokat egyszerűsíteni.

[8] Sinobi2021-02-17 20:30:55

Egy megoldás inverzióval: ugyanúgy kezdődik, mint a Kömalban szereplő II megoldás: az \displaystyle f_a szakasz \displaystyle A_0 végpontjából érintőegyenest húzunk az \displaystyle f_a szakasz \displaystyle A csúcsa körüli \displaystyle m_a sugarú körhöz, a kapott \displaystyle t_e egyenesen lesz a B és a C csúcsa a háromszögnek.

Legyen \displaystyle A'' az A csúcsbeli másik szögfelező metszése az előbbi \displaystyle t_e egyenessel. A keresett B és C pontok inverz pontpárok \displaystyle A_0-ra és \displaystyle A''-re, a távolságuk meg van adva, már csak meg kell szerkeszteni őket.

Ez pedig történhet inverzióval: a BC pontpárokra Thalész köröket képzelünk, olyat keresünk, amelyik érinti a \displaystyle t_e egyenessel párhuzamos, attól BC/2 távolságra levő egyeneseket, és merőleges \displaystyle A_0A'' Thalész-körére. Ennek a körnek a két metszéspontja a \displaystyle t_a egyenessel lesz a keresett B és a C pont. Az egyik ilyen egyenest invertáljuk \displaystyle A_0 A'' Thalész-körére, kapjuk \displaystyle q kört. Az inverzió a keresett BC talpppontú kört helybenhagyja, és érintkezést érintkezésbe visz, így már csak azt a kört kell megkeresni, amelyik érinti az előbbi két, \displaystyle t_a-val párhuzamos egyenest, és az egyiknek a q inverz képét; ami az Apollóniuszi probléma két egyenessel és egy darab körrel, a szerkesztés ismert.

[7] hihetetlen2021-02-14 20:14:05

Egyrészt csodálom, hogy ilyen gondosan tanulmányozod a régi feladatokat, másrészt remélem, hogy nem feltételezed rólam, hogy régi feladatok előbányászásával szeretnék hozzászólásokat provokálni, elmesélem a feladat történetét (én hogyan találkoztam vele):

A 90-es évek elején egyik fiam hozta haza a József Attila gimnáziumból. Úgy ítéltem, hogy nehezebb feladat, mint amit házi feladatnak szoktak adni, de felkeltette az érdeklődésemet, ezért aztán megpróbálkoztam a megoldásával. Több megoldást is kitaláltam, de mindegyik számolásos. Egy ilyet mindjárt le is írok. A megoldások nem túl elegánsak és nehezen szerkeszthetőek (terület átalakításokkal mindegyik szerkesztés elvégezhető volt), ezért időről-időre eszembe jutott, hogy kell lennie egyszerűbb megoldásnak is. Több matematikus ismerősömnek is elmeséltem, de nekik nem keltette fel az érdeklődésüket, vagy csak nem akartak elegendő időt fordítani a megoldásra. Egy éjszaka nyaralás közben jutott eszembe az a megoldás, amelyet már leírtam.

Most lássuk az egyik nem túl elegáns megoldást, amelyhez könnyen el lehet jutni (kiszámítjuk a háromszög köré írható kör sugarának hosszát)! A szerkesztést nem részletezem.

Legyen adva az \displaystyle ABC háromszög \displaystyle BC=a oldala, \displaystyle AM=m a háromszög magassága és \displaystyle AF=f a háromszög szögfelezője!

Tükrözzük át a magasságot a szögfelezőre! Ez az egyenes át fog menni a körülírható kör \displaystyle O középpontján. A körülírható kör sugara legyen \displaystyle r hosszúságú! Az egyenesnek a háromszögbe eső darabja \displaystyle AD=l. Bocsássunk merőlegest \displaystyle O-ból a \displaystyle BC oldalra, ennek talppontja \displaystyle E és \displaystyle OE=x! Bocsássunk merőlegest \displaystyle O-ból az \displaystyle AM magasságra, ennek talppontja \displaystyle G!

Mivel \displaystyle AOG\triangle\thicksim ADM\triangle ezért

\displaystyle \frac{m-x}{r}=\frac{m}{l}

A Pythagoras-tétel szerint

\displaystyle x^2+\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=r^2

Az egyenletrendszerből \displaystyle r meghatározható (a negatív gyök nem érdekel):

\displaystyle r=\frac{-\frac{m^2}{l} + \sqrt{m^2 + \Big(\frac{a}{2}\Big)^2\Big(1-\frac{m^2}{l^2}\Big) }}{1-\frac{m^2}{l^2}}

Előzmény: [6] HoA, 2021-02-08 10:40:15
[6] HoA2021-02-08 10:40:15

A régi KöMaL számokat nézegetve rátaláltam feladatodnak a Te megszövegezésed szerinti kitűzésére is. Gy. 914.:

http://db.komal.hu/scan/1964/04/96404173.g4

A megoldás pedig itt:

http://db.komal.hu/scan/1965/04/96504153.g4

Előzmény: [5] hihetetlen, 2021-01-06 10:44:10
[5] hihetetlen2021-01-06 10:44:10

Tetszik a válaszod. Részben hasonló cipőben járok: 73 éves vagyok, így az 1965-ös számokat én is olvastam régen, de az élet úgy hozta, hogy inkább számítástechnikából élek, semmint matematikából. Szabadidőmben újra örömömet lelem matematikai feladatok megoldásában (ezeket részben magamnak találom ki, részben innen-onnan gyűjtöm).

Előzmény: [4] HoA, 2020-12-31 16:04:49
[4] HoA2020-12-31 16:04:49

RE: Áruld el, hogyan találtál rá erre a megoldásra?

A Ludas Matyi vicclapnak volt egy mottója: "Nincsenek régi viccek, csak öreg emberek. Egy újszülöttnek minden vicc új."

Ha az ember elég öreg ahhoz, hogy már az 1965-ös KöMaL-okat is olvasta, de még elég fiatal ahhoz, hogy ne felejtsen el mindet, egy-egy feladat kapcsán beugrik, hol látott valami hasonlót.

Előzmény: [3] hihetetlen, 2020-11-23 16:12:16
[3] hihetetlen2020-11-23 16:12:16

Áruld el, hogyan találtál rá erre a megoldásra?

Elmondom az én megoldásomat, amely ugyan számoláson alapul, de talán a szerkesztés egyszerűbb.

Induljunk ki a kész ábrából:

Legyen \displaystyle BC az adott oldal, \displaystyle AM az adott magasság és \displaystyle AF_1 az adott szögfelező.

Megrajzoltuk még az \displaystyle AF_1-re merőleges \displaystyle AF_2 külső szögfelezőt is.

Az \displaystyle AMF_1\triangle nyilván könnyen szerkeszthető és az \displaystyle F_2 pont is könnyen kitűzhető.

Ha ismernénk a \displaystyle BF_1 szakasz \displaystyle x hosszát, akkor készen lennénk.

Legyen a \displaystyle BC oldal hossza \displaystyle a, az \displaystyle F_2F_1 távolság pedig \displaystyle d!

Írjuk fel a szögfelező tétel alapján a következő összefüggést:

\displaystyle \frac{x}{a-x}= \frac{d-x}{d+a-x}

A kapott másodfokú egyenlet megoldása (csak az érdekel, amelyik kisebb \displaystyle a-nál):

\displaystyle x= \frac{a+d-\sqrt{a^2 + d^2}}{2}

\displaystyle \sqrt{a^2 + d^2} egy olyan derékszögű háromszög átfogójának a hossza, amelynek befogói \displaystyle a és \displaystyle d hosszúságúak.

Nézzük ezek után a szerkesztést! Szerkesszük meg az \displaystyle AMF_1 háromszöget és tűzzük ki az \displaystyle F_2 pontot! Az \displaystyle F_1F_2 egyenesre mérjük fel az \displaystyle a szakaszt \displaystyle F_1-ből az \displaystyle F_2-vel ellentétes oldalon. A kitűzött pont \displaystyle P_1 és az \displaystyle F_2P_1 szakasz hossza \displaystyle a+d.

Állítsunk merőlegest az \displaystyle F_1F_2 egyenesre az \displaystyle F_1 pontban és mérjük fel rá az \displaystyle a szakaszt! A kitűzött pont \displaystyle P_2. Az \displaystyle F_2P_2 távolság nyilván \displaystyle \sqrt{a^2 + d^2}.

Mérjük rá az \displaystyle F_2P_2 távolságot az \displaystyle F_2P_1 szakaszra \displaystyle F_2-ből indulva. Az így kapott pont \displaystyle P_3. Nyilván a \displaystyle P_1P_3 szakasz hossza \displaystyle a+d-\sqrt{a^2 + d^2}. A szakasz felezőpontja legyen \displaystyle K!

A \displaystyle KP_1 szakasz hossza \displaystyle x, tehát \displaystyle K=C, azaz megkaptuk a háromszög másik csúcsát. A harmadik csúcs kitűzése most már nem jelent problémát és a szerkesztést befejezettnek tekinthetjük.

Röviden a diszkusszió: ha az adott magasság és az adott szögfelező egyenlő hosszú, akkor egyenlőszárú háromszögről van szó, amelynek szerkesztése nem okozhat problémát, ha pedig a szögfelező hosszabb a magasságnál, akkor a szerkesztés mindig elvégezhető.

Előzmény: [2] HoA, 2020-10-16 22:43:59
[2] HoA2020-10-16 22:43:59

Az \displaystyle f_c és \displaystyle m_c által bezárt szög \displaystyle \frac{\alpha - \beta}2 Így a feladatot visszavezettük erre:

Szerkesszünk háromszöget ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és az oldalon fekvő két szög különbsége.

Ez volt az 1964. évi Arany Dániel verseny egyik feladata, megoldása a KöMaL 1965. évi 1. számának 2. oldalán olvasható.

Előzmény: [1] hihetetlen, 2020-09-24 15:56:03
[1] hihetetlen2020-09-24 15:56:03

Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a szemközti csúcsból induló szögfelezőnek a háromszögbe eső darabja!