Fórum: Felfedezés(matematika)

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[16] gyula60

2013-04-22 12:07:15

Egy kis felfedezni való képletsor.

Legyen $a(x):=x^2+x\root3\of{x^3-1}+\root3\of{(x^3-1)^2}$ ,

$b(x):=x-\root3\of{x^3-1}$ ,

$g(x):=\root3\of{x^3-1}$ ,

aⁿ(x):=T_n(x)+U_n-1(x)g(x)+W_n-2(x)g²(x), ahol k, n egész számok esetén T_n(x),U_n(x),W_n(x) valamilyen k-ad fokú

polinomok.

(T₀(x)=1,T₁(x)=x²,T₂(x)=x(3x³-2),U_-1(x)=0,U₀(x)=x,U₁(x)=3x³-1,U₂(x)=9x⁵-6x²,W_-2(x)=0,W_-1(x)=1,W₀(x)=3x²,W₁(x)=9x⁴-3x),

Bizonyítsuk be, hogy érvényesek a követekező azonosságok:

a³(x)=3x²a²(x)-3xa(x)+1,

a(x)-b²(x)=3xg(x),

a²(x)-b(x)=3xg(x)a(x),

a³(x)-1=3xg(x)a²(x),

1-b³(x)=3xg(x)b(x),

és legfőképpen

T_n³(x)+(x³-1)U_n-1³(x)+(x³-1)²W_n-2³(x)-3(x³-1)T_n(x)U_n-1(x)W_n-2(x)=1

Minden n egész számra teljesülnek a következő rekurziók is:

T_n(x)=3x²T_n-1(x)-3xT_n-2(x)+T_n-3(x),

U_n(x)=3x²U_n-1(x)-3xU_n-2(x)+U_n-3(x),

W_n(x)=3x²W_n-1(x)-3xW_n-2(x)+W_n-3(x).

És még egy összefüggés:

3·T_-n(x)-3·T_n(x)·aⁿ(x)=bⁿ(x)-a²ⁿ(x).

Van-e remény arra, hogy explicite meghatározható legyen a(x), b(x) és g(x) segítségével T_n,U_n-1 és W_n-2, valahogy hasonló módon mint a Csebisev polinomoknál?

[15] Kőrösi Ákos	2012-12-23 23:55:38
Ja,tényleg,, mivel 2n+n=3n. :)

[14] HoA	2012-12-23 21:35:54
Sőt, még kettőhatványnak sem kell lennie. Elárulom, hogy bármely természetes számhoz a kétszeresét hozzáadva hárommal osztható számot kapunk :-)
Előzmény: [13] Kőrösi Ákos, 2012-12-23 20:58:08

[13] Kőrösi Ákos	2012-12-23 20:58:08
U.i:Vagyis a sejtés igaz,már ha Károly értelmezése helyes volt.

[12] Kőrösi Ákos

2012-12-23 20:56:25

Gondolkoztam egy kicsit a témán.Rájöttem,hogy akkor osztható a két kettőhatvány összege hárommal,ha az egyik 1, a másik 2 maradékot ad 3-mal osztva. És lám,az 2ⁿ számok maradékai 3-mal rendre: 1,2,1,...! Ezt könnyű bizonyítani.Mivel ha 2ⁿ mod 3=1, akkor 2ⁿ=3x+1, vagyis 2ⁿ⁺¹=6x+2, tehát 2ⁿ⁺¹ mod 3=2. De ha 2ⁿ mod 3=2, akkor 2ⁿ=3x+2, vagyis: 2ⁿ⁺¹=6x+4=6x+3+1=3(2x+1)+1,vagyis 2ⁿ⁺¹ mod 3=1.

[11] Hajba Károly

2012-12-23 17:33:10

Ha már újra feljött ez a topik, egy kicsit elgondolkoztam, hogy mit is 'fedezhetett fel' Brygike. Találtam egy egyszerű dolgot, de ezt majd ő tudja visszaigazolni, ha majd egyszer újra erre jár.

Ha a 2⁰-tól indulva két szomszédos kettőhatványt összeadunk, akkor az 3-mal, majd 6-tal is mindig osztható lesz. Talán erre gondolt.

---

Kellemes ünnepeket és mindig békés hangulatot kívánok mindenkinek.

[10] Kőrösi Ákos

2012-12-23 11:28:54

Ha ezt a kérdést a természetes számok halmazán nézzük,akkor nincs ilyen hatvány. Mert van ugyebár minden 1<n számnak kanonikus alakja/prímfelbontása, ahogy tetszik. Egy a szám akkor osztható egy b számmal,ha b minden prímtényezője megvan a felbontásában, mégpedig kisebb vagy egyenlő kitevőn. De a 2ⁿ alakú számok felbontásában csak a 2 szerepel, a 3 nem.Ezért egyik természetes kitevőjű kettőhatvány sem osztható 3-mal.

[9] SmallPotato	2012-04-20 01:52:19
Hacsak nem pl. a 2^(log₂3).
Előzmény: [8] HoA, 2012-04-19 21:32:23

[8] HoA

2012-04-19 21:32:23

Nem értehető, de még mielőtt itt szerte szaladnánk száz irányba, hogy mire gondolhattál, mondj egy példát erre:

"vannak a kettő hatványai, kíváncsi voltam, hogy lesz-e 3-mal osztható szám közötte, és igen lett."

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49

[7] Gézoo

2012-04-19 20:16:19

Ezt úgy értetted, hogy a kettő hatványainak az összegei között?

Nyilván van sok 3-al osztható, miután a kettő hatványainak összegeivel képezzük a kettes számrendszerbeli számokat.

Így elvben az összes olyan szám előállítható a kettes hatványainak összegeiből ami a tízes számrendszerben szerepel.

Ha pedig mégis csak úgy értetted volna mint ahogyan a többiek, akkor meg nem értelek. az egyet leszámítva az összes hatvány csak kettővel és a hatványaival osztható maradék nélkül, így hárommal maradék nélkül osztható nem lehetne köztük.

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49

[6] logarlécész	2012-04-19 20:06:50
A lónak is négy lába van..., nekünk csak kettő.

[5] lorantfy	2012-04-19 17:01:23
Hát Brygike, ez a felfedezés, mint ahogy királyunk is mondja, nem igaz. Hárommal csak azok a számok oszthatók, melyek prímtényezős felbontásában szerepel a 3.
Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49

[4] R.R King	2012-04-18 16:33:39
Üdv. A 2 hatványai között nem fogsz találni 3-mal oszthatót. A többit meg nem igazán értem...
Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49

[3] Brygike	2012-04-18 16:28:49
Az a történet, hogy vannak a kettő hatványai, kíváncsi voltam, hogy lesz-e 3-mal osztható szám közötte, és igen lett. És egy pár szám után a számok számjegyeinek az összege ugye "mind" szotható 3-mal és a véglege összegük 6 és 3 felváltva. Remélem érthető!
Előzmény: [2] lorantfy, 2012-04-15 09:44:43

[2] lorantfy	2012-04-15 09:44:43
Szinte biztos, hogy rájött már valaki. De ha beírod, akkor az ide látogatók segíteni fognak a kérdés eldöntésében. Ha véletlenül tényleg valami új dologra jöttél rá, akkor nem vesszük el tőled az elsőséget, te leszel a felfedező.
Előzmény: [1] Brygike, 2012-04-14 23:29:12

[1] Brygike	2012-04-14 23:29:12
Egy érdekes dologra jöttem rá, egy egyszerű számítás után, és nem tudom, hogy erre már rá jött-e valaki? Honnan tudom ezt meg? Valaki tud segíteni? Nem bonyolult, egy egyszerű számsor szerűség(nem tudom, hogy nevezzem)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?