Fórum: GEOMETRIA

A húrnégyszögekkel kapcsolatos megjegyzéseket szeretnék most leírni. 1./Van a húrnégyszögeknek egy triviális tulajdonsága, amelyről nem látok semmit se a KÖMAL-on, sem a Wikipédián. (Lehet, hogy figyelmetlen vagyok.) Nevezetesen hogy a húrnégyszög oldalaiból még két húrnégyszög is konstruálható. Összesen három (igaz az eredetivel se nem hasonló, se nem egybevágó) azonos területű és kerületű húrnégyszög jöhet szóba összesen e, f és g átlókkal. A keletkező harmadik átló hosszára $\displaystyle g^2=\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(ac+bd)}$. Ezt felhasználva kikövetkeztethető, hogy $\displaystyle T=\frac{efg}{4R}$. 2./A spanyol nyelvű változatban látható, hogy $\displaystyle cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$, ami a koszinusz-tételre emlékeztet. Az angol nyelvű változat $\displaystyle T=\frac{(ad+bc)sin A}{2}$ és $\displaystyle T=\frac{(ab+cd)sin B}{2}$ képletei pedig arra engednek következtetni, hogy a szomszédos szögek szinuszainak aránya az átlók arányával egyezne meg, ami pedig a szinusz-tételre hasonlít.

Igazad van, bocsánat, sajnos az arccos fölött elsiklottam!

Köszönöm a megoldást!

És mi a véleményed [1948]-ról?

Szerintem ezt a kérdést megválaszoltam [1940]-ben, mekkorák az A és B-beli szögek.

A B-beli szög  64.34, az

A-beli szög  51.32.

Az ábrádat nem látom jól, de ha a 0 fok van jobb oldalt, és az alsó kör óramutatóval megegyezően, a felső pedig ellentétesen van számozva (???), akkor a metszéspontok az alsó körön

270 +- A-beli szög = 270 +- 51.32 = 321.32 és 218.68,

míg a felső körön

90 +- B-beli szög = 90 +- 64.34 = 154.34 és 25.66.

Amint 1943-as hsz-ben jeleztem közreadnám a következő feladatot:

Adott egy 'r' sugarú kör, és annak ívén levő középponttal 6 db 'gyök(3)*r/2' sugarú kör.

Mekkora a 12 fehér köríves vonallal határolt alakzat területe?

Kedves Erzsébet!

Köszönöm, hogy foglalkozol a témával!

Megpróbálom még szakszerűbben leírni a feladatot:

Adott két kör. A nagyobbik sugara 'r', a kisebbiké 'gyök(3)*r/2'. A kisebbik kör középpontja a nagyobbik 270. fokán van. 1943-as hozzászólás ábrája szerint.

A feladat: középpontjaiktól számítva egy-egy teljes körív mentén, hány foknál vannak a metszéspontjaik?

Sajnos a pontos feladatot nem írtad. Adott két kör. Ha a metszéspontot összekötöm a körök középpontjával, akkor a szög: 64,34 fok. VAGY Két görbe hajlásszöge: metszéspontban húzott érintők által bezárt szög. Ez is 64,34 fok.

De azért a metszésponti szögek jók lehetnek?

A gyök3/2 adattal számolva a fekete csak kb. szabályos hétszög, nem pontosan.

Kedves Sinobi!

Boldog Újévet Kívánok (természetesen mindenki másnak is)!

Sejtettem, hogy szakszerűtlen lesz a feladat leírása, de a segítségeddel mégis sikerült elindulnom a megoldás felé, főleg, miután rájöttem, hol keressem az egyenlőszárú háromszöget. :)

Az alap kérdésem az lett volna, hogy egy-egy körnek hányadik fokainál vannak a másik körrel való metszéspontjai?

Szerkesztés közben arra is rájöttem, hogy a két kör metszéspontjai egy, a nagy körbe írható szabályos hétszög, és egy, a kis körbe írható szabályos tizennégy-szög egy-egy csúcsánál vannak.

Gondolom, a geometriában képzettek ezt kapásból tudtják.

A metszéspontok e szerint:

a kis körnél 25,714 és 154,286 fok,

a nagy körnél 218,571 és 321,429 fok,

az alábbi ábra szerint.

A fenti kérdés egy összetettebb feladat része volt, amivel, ha sikerül ábrázolnom, ismét jelentkezem.

Köszönöm segítségeteket!

Szerintem először le kellene írni a feladatot, vagyis pontosítani kellene. Metszéspontok szöge? Mivel ez számomra nem világos, én pl. a két érintő szögére gondoltam.

Két metsző kör szögén a metszéspontban meghúzott körérintők szögét értjük.

Mármint a szög arccos( (piros/2) / kék ), ahol a piros gyök(3)/2, a kék pedig 1.

Úgy értelmeztem a kérdésedet, hogy a körívek által bezárt szögre vagy kíváncsi (ábrán az ABC háromszög C-ben levő szöge). Most inkább úgy hiszem, hogy az ábrán az ABC háromszögben A-ban, illetve B-ben levő szögekre (vagy azok duplájára) vagy kíváncsi.

Akárhogy is, a háromszög oldalai (r, r, sqrt(3)/2 r), aminek az alapon fekvő szögei (C és B-beli szögek) arcos( kék/ (piros/2) ) = arccos( gyök(3) / 2 / 2), az A-beli szöge meg 180-2*arccos( gyök(3) / 4)).

Kérlek, tekints úgy, mintha teljesen hülye lennék, és egy kicsit bővebben fejtsd ki, légy szíves! Ez a (r,r,gyök(3)/2 r) nem lehet mindkét ív esetén érvényes...(?)

Körök szöge az ugyanaz, mint a metszéspontba húzott sugarak szöge.

Ha felveszed a középpontokat és a metszéspontba húzott sugarakat, akkor egy (r,r,gyök(3)/2 r) egyenlőszárú háromszöget kapsz, és ennek a szögeire vagy kíváncsi.

Elnézést, az ábra lemaradt, de talán nincs is rá szükség!

Kedves Fórumozók!

Segítséget kérnék, mivel nem vagyok járatos a matematika és geometria világában:

Adott két egymást metsző kör. Az egyik r, a másik négyzetgyök(3) * r / 2 sugarú. A nagyobbik kör érinti a kisebbik középpontját.

Kérdésem: mi a képlet a metszéspontok szögeinek meghatározásához?

JavaScript-ben rajzoltam meg canvas-on, szemre többé-kevésbé jól kidekáztam az értékeket, de jó lenne, ha a gép pontosan kiszámolná. A teljesség kedvéért ideírom a körívrajzolás kódját:

ctx.arc(x, y, r, (Math.PI / 180) * 218.65, (Math.PI / 180) * 321.35);// nagy kör íve, ctx.arc(x, y, Math.sqrt(3) * r / 2, (Math.PI / 180) * 25.65, (Math.PI / 180) * 154.35);// kis kör íve, az óramutató járása szerint.

Bocsánat a valószínűleg szakszerűtlen feladatleírásért és előre is köszönök minden segítséget!

Szép, az első megközelítésben a rombusz adódott nálam is a megoldás során.

A feladat egy lehetseges eredete a szabalyos 18-szog atloinak az a tulajdonsaga, hogy egymassal bezart szoguk mindig a 10 fok egesz tobbszorose.

Ha $\displaystyle C$, $\displaystyle D$ es $\displaystyle A$ egy szabalyos 18-szog megfelelo csucsai, akkor $\displaystyle E$ eppen a sokszog kozeppontja.

A kozbulso lepes, hogy a $\displaystyle CC'$, $\displaystyle AG$ es $\displaystyle DF$ atlok egy ponton mennek at, ami peldaul visszavezetheto arra, hogy $\displaystyle EDAF$ egy rombusz, amelynek szogei 120 fok es 60 fok.

Mindez persze nem a feladat megoldasa, inkabb azt mutatja, hogyan "keszulhetett" a kerdes.

I. Szögszámolással adódik, hogy BD felezi az ABCD négyszög B-nél levő szögét.

II. A-t tükrözve BD-re a kapott E pont rajta van BC egyenesén és AD=ED.

III. Újabb szögszámolás után EDC háromszög egyenlő szárú, ED=EC.

IV. Harmadjára is szögeket számolva EC=EA, tehát AE=EC=ED=AD, azaz AED háromszög szabályos, minden szöge 6alfa, így alfa=10fok.

$\displaystyle ABCD$ konvex négyszögben $\displaystyle BC=CD, BAC\sphericalangle=3\alpha$, $\displaystyle BCA\sphericalangle=\alpha,$ $\displaystyle ACD\sphericalangle=3\alpha$, $\displaystyle DAC\sphericalangle=5\alpha.$ Mennyi $\displaystyle \alpha$ értéke?

Bocsánat, elírás. Helyesen:

A $\displaystyle D_0D_1F_1$ és $\displaystyle D_0D_2F_2$ háromszögek hasonlók, $\displaystyle D_0, F_1 és F_2$ egy egyenesen vannak.

Legyen $\displaystyle P$ egyik helyzete $\displaystyle P_0$. Rajzoljuk meg az ehhez tartozó $\displaystyle P_0D_0$ és $\displaystyle P_0E_0$ szakaszokat. P egy másik, $\displaystyle P_1$ helyzetéhez tartozzanak A $\displaystyle D_1$ és $\displaystyle E_1$ pontok. A párhuzamos szelők tétele szerint $\displaystyle BP_0 D_0$ háromszögből $\displaystyle D_0D_1 = k P_0P_1$ , ahol $\displaystyle k = \frac{sin u}{sin(\beta + u)}$ . Hasonlóan a $\displaystyle P_0CE_0$ háromszögből $\displaystyle E_0E_1 = m P_0P_1$ , ahol $\displaystyle m = \frac{sin v}{sin(\gamma + v)}$ . Toljuk el $\displaystyle E_1D_1$ -et önmagával párhuzamosan az $\displaystyle AC$ egyenes mentén úgy, hogy $\displaystyle E_1$ $\displaystyle E_0$ -ba kerüljön. $\displaystyle D_1$ új helyzete legyen $\displaystyle F_1$ . $\displaystyle D_1E_1E_0F_1$ paralelogramma, $\displaystyle D_1F_1 \# E_1E_0$ , $\displaystyle \frac{D_0D_1}{D_1F_1} = \frac {k}{m}$. Ismételjük meg egy további $\displaystyle P_2$ pontra a $\displaystyle P_1$ -re elvégzetteket. Kapjuk a $\displaystyle D_2 , E_2, F_2$ pontokat. $\displaystyle \frac{D_0D_2}{D_2F_2} = \frac {k}{m}$. A $\displaystyle D_0D_1F_1$ és $\displaystyle D_0D_2F_2$ háromszögek hasonlók, $\displaystyle D_0, D_1 és D_2$ egy egyenesen vannak. A megfelelő $\displaystyle D_iE_i$ szakasszal párhuzamos és azonos hosszúságú $\displaystyle F_iE_0$ szakaszok egyik végpontja közös ($\displaystyle E_0$) , a másik az $\displaystyle F_iF_j$ egyenesen mozog. Közülük a legrövidebb az $\displaystyle E_0$ -ból az $\displaystyle F_iF_j$ -re bocsátott merőleges $\displaystyle F_m$ talppontját $\displaystyle E_0$ -lal összekötő szaksz lesz. A keresett legrövidebb $\displaystyle DE$ szakaszt akkor kapjuk, ha $\displaystyle E_0F_m$ -et az $\displaystyle AC$ egyenes mentén úgy toljuk el, hogy $\displaystyle F_m$ az $\displaystyle AB$ egyenesre essék, a szakasz végpontjai legyenek $\displaystyle D_m és E_m$

A szerkesztést úgy hajthatjuk végre a legkevesebb vonal megrajzolásával, ha P két szélső helyzetét használjuk. Legyen tehát $\displaystyle P_0 = B, P_2=C$ , $\displaystyle E_0$ az $\displaystyle AC$ oldalnak az a pontja, melyre $\displaystyle E_0BC \angle = v$ , $\displaystyle D_2$ az $\displaystyle AB$ oldalnak az a pontja, melyre $\displaystyle D_2CB \angle =u$ . $\displaystyle CD_2$ -t $\displaystyle CA$ mentén úgy eltolva, hogy $\displaystyle C$ $\displaystyle E_0$ -ba jusson $\displaystyle D_2$ kerüljün $\displaystyle F_2$ -be .$\displaystyle E_0$ -ból az $\displaystyle F_2B$ egyenesre bocsátott merőleges talppontja legyen $\displaystyle F_m$ . A legrövidebb DE szakaszt $\displaystyle E_0F_m$ -nek $\displaystyle AC$ -vel párhuzamos eltolásával kapjuk úgy, hogy $\displaystyle F_m$ az $\displaystyle AB$ egyenesen lévő $\displaystyle D_m$ -be kerüljön, $\displaystyle E_0$ pedig $\displaystyle E_m$ -be.

Ujjgyakorlatnak hagyjuk annak bizonyítását, hogy a $\displaystyle D_m$ -ből $\displaystyle D_2C$ -vel húzott párhuzamos és az $\displaystyle E_m$ -ből $\displaystyle E_0B$ vel húzott párhuzamos egy, a $\displaystyle BC$ egyenesen fekvő, feladatunk megoldását adó $\displaystyle P_m$ pontban metszik egymást.

A 192. feladat valóban nyitott. Talán ezért (is) nagyon nehéz, de megoldható. Az általam ismert megoldást nyolc éve publikálták, azóta a közlés helyén, egy közismert, frekventált oldalon, állócsillagként ragyog: még nem reagált rá senki – legalábbis ott nem. Ebből arra következtetek, hogy máig csak ez az egy megoldás létezik. Ez a dolgozat – a szerkesztéses részét tekintve – mindvégig euklideszi szerkesztésekkel jut el a $\displaystyle P$ pont keresett pozíciójához.

Beírom a lényegesen könnyebb,193. feladatot is, amely csak u és v szerepét tekintve különbözik a rokon 192.-től. Találjunk euklideszi szerkesztést alkalmazó megoldást a következő, 193. feladatra:

Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldalán mozog egy $\displaystyle P$ pont. Az $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle D$, valamint az $\displaystyle AC$ oldal $\displaystyle E$ pontjára fennáll, hogy rögzített e két szög: $\displaystyle u=BPD∠$ és $\displaystyle v=CPE∠$. Keressük meg a $\displaystyle P$ pont azon helyzetét, amelyre a $\displaystyle DE$ szakasz hossza minimális!

Nagyon nyitott a feladat, és nekem kételyeim is vannak azzal kapcsolatban, hogy van értelmes, szép válasz. Az ennél egyszerűbbnek tűnő

Philo szelő probléma: adott egy szög és benne egy pont, keressük meg a legrövidebb szakaszt, amely átmegy a ponton, és a végpontjai a szög két szárán van

sem szerkeszthető már körzővel és vonalzóval. Bár az például megoldható olyan eszközzel, amelyik megadja két kúpszelet metszéspontjait.

$\displaystyle {\bf 192.}$ $\displaystyle {\bf feladat}$: Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldalán mozog egy $\displaystyle P$ pont. Az $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle E$, valamint az $\displaystyle AC$ oldal $\displaystyle F$ pontjára fennáll, hogy konstans az $\displaystyle u = EPA\angle$ és a $\displaystyle v = APF\angle$. Keressük meg a $\displaystyle P$ pont azon helyzetét, amelyre az $\displaystyle EF$ szakasz hossza minimális!